Obtención de la función ' extremo de s valores sin derivados

Question

¿Qué es otro método para obtener un valor de función min/max sin uso de derivadas? Por ejemplo, en esta función:

$f(x) = 4x + \dfrac{9\pi^2}{x} + \sin(x)$

Mi maestro utiliza un método que dice algo como esto:

$a = 4x$, $\ \ \ $ $b = \dfrac{9\pi^2}{x}$, $\ \ \ \min = 2\sqrt{a \cdot b} - \sin(x)$.

¿Alguien me puede decir nombre de dicho método?

Answer 1

Hay una gran colección de estándar de las Desigualdades que se pueden utilizar en max/min problemas.

Uno de los más útiles es la Media Aritmética Media Geométrica de la Desigualdad (AM-GM). En el caso de $n=2$ dice que si $a$ $b$ son positivas, a continuación, $$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab},$$ con la igualdad sólo si $a=b$. Que es esencialmente el hecho de que usted ha citado. Tenga en cuenta que la desigualdad puede ser probado simplemente a partir de el hecho de que $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge 0$, y, a continuación, hacer algún tipo de manipulación.

El General AM-GM dice que si el $a_i$ son positivas, a continuación, $$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ge (a_1a_2\cdots a_n)^{1/n},$$ con la igualdad sólo cuando el $a_i$ son todos iguales.

Hay muchas otras desigualdades útil para probar la existencia de max/min resultados. Por ejemplo, usted podría querer buscar el Cauchy-Schwarz Desigualdad. Lo que ocurre es que la desigualdad de su maestro que se utiliza puede ser pensado como el caso $n=2$ de AM-GM o como el caso $n=2$ de C-S, aunque para mayor $n$ difieren.

Hay muchos otros "llamado" de las desigualdades. Para una larga lista, mira [aquí]. (http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities)

Comentario: recomiendo el libro de Máximos y Mínimos Sin Cálculo por Ivan Niven.