¿Qué pasa con estos dos?
$A = \left [\begin{array}{cccccc}
1&1&1&1&1&\cdots\\
0&1&0&0&0&\cdots\\
0&0&1&0&0&\cdots\\
\vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \vdots & \ddots
\end{matriz} \right] $
y
$B = \left [\begin{array}{cccccc}
1&0&0&0&0&\cdots\\
-1&1&0&0&0&\cdots\\
0&-1&1&0&0&\cdots\\
0&0&-1&1&0&\cdots\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{matriz} \right] $
Entonces toda la primera fila de $AB$ es ceros por lo que no puede ser inversible. Pero creo que ambos $A$ y $B$ es invertible. Si usted escribe las ecuaciones de la primera tenemos $x_n=y_n$ % todo $n>1$y $x_1=y_1-\sum_{n\geq2}y_n$. Y desde el segundo uno $x_1=y_1$, $x_2=y_2+y_1$, $x_3=y_3+y_2+y_1$, etcetera. Por lo tanto ambos $A$ y $B$ son inversible.