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una propiedad de matrices infinitas

Una matriz infinita $[a_{ij}]_{i,j\in\mathbb{N}}$ se llama inversible, si para cualquier secuencia convergente $(y_m)$ allí existe exactamente una secuencia $(x_m)$ tal que $y_m=\sum_{n\ge 1}a_{mn}x_n$ % todos $m\in\mathbb{N}$.

Encontrar dos matrices inversible infinito $A,B$ tal que $AB$ no es inversible.

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Gregory Grant Puntos 6319

¿Qué pasa con estos dos?

$A = \left [\begin{array}{cccccc} 1&1&1&1&1&\cdots\\ 0&1&0&0&0&\cdots\\ 0&0&1&0&0&\cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \vdots & \ddots \end{matriz} \right] $

y

$B = \left [\begin{array}{cccccc} 1&0&0&0&0&\cdots\\ -1&1&0&0&0&\cdots\\ 0&-1&1&0&0&\cdots\\ 0&0&-1&1&0&\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{matriz} \right] $

Entonces toda la primera fila de $AB$ es ceros por lo que no puede ser inversible. Pero creo que ambos $A$ y $B$ es invertible. Si usted escribe las ecuaciones de la primera tenemos $x_n=y_n$ % todo $n>1$y $x_1=y_1-\sum_{n\geq2}y_n$. Y desde el segundo uno $x_1=y_1$, $x_2=y_2+y_1$, $x_3=y_3+y_2+y_1$, etcetera. Por lo tanto ambos $A$ y $B$ son inversible.

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