Problema de división

Question

Planteamiento del problema

Cinco marineros fueron cas isla, habitada sólo por monos. Para comida, recogieron todos los cocos que pudieron encontrar. Durante la noche, uno de los marineros despertó y decidió coger su parte de los cocos. Los dividió en 5 montón sobraba, así que se lo tiró a los monos; luego escondió su montón y se a dormir. Poco después, un segundo marinero y tuvo la misma idea que el primero. que el primero. Dividió cocos en 5 montones iguales. iguales, descubrió también que coco estaba l a los monos. Luego escondió su parte y volvió a dormir. Uno a uno otros tres marineros hicieron lo mismo cosa, cada uno tirando un coco a el dinero. A la mañana siguiente, todos los marineros estaban listos para desayuno, dividieron el montón restante de cocos en cinco partes iguales, y esta vez no sobró ningún coco. Encuentra el menor número de cocos del montón original.

Mi solución fue, cada vez que un navegante toma su parte, vuelvo a calcular el número de coco:

1. $n = 5\cdot q_0 + 1 $ $\to$ # izquierda = $\frac{4}{5}\cdot q_0 = \frac{4}{5}\cdot \frac{n - 1}{5}$

2. $\frac{4}{5}\cdot q_0 = 5 \cdot q_1 + 1 \to$ # izquierda $= \frac{4}{5}\cdot q_1 ....$

Continuando este proceso, acabé con una fracción muy extraña:

$$\frac{(256\cdot n - 464981)}{1953125}$$

A continuación, establezco esta fracción en $5\cdot k$ desde la última vez que # cocos es divisible por $5$ para resolver $n$ .
¿Estoy en la dirección correcta? Cualquier sugerencia será muy apreciada.

Gracias,
Chan

Answer 1

Usted escribió que $n = 5q_0 + 1$ Así que el primer marinero tiró un coco y guardó $q_0$ cocos. El número restante de cocos es $4q_0$ ¡!

Entonces escribes:

$$n = 5q_0 + 1$$ $$4 q_0 = 5q_1 + 1$$ $$4 q_1 = 5q_2 + 1$$ $$4 q_2 = 5q_3 + 1$$ $$4 q_3 = 5q_4 + 1$$ $$4 q_4 = 5q_5$$

Ahora ya sabes que $q_5 > 0$ Así que $n$ será menor cuando $q_5 = 1$ . (Por supuesto, si no han desayunado nada, haga lo siguiente con $q_0 = 0$ ).

También hay que tener en cuenta que cuando el quinto marinero estaba tomando su parte, después de tirar un coco, el número restante de cocos era divisible por $5$ . Así que

$$ q_4 = \frac{5q_5}{4}$$

debe ser un número entero. Escribamos $q_5 = 4k_0$ . A continuación, escribiendo las ecuaciones al revés, y expresando $q_3$ con $q_{4}$ rendimientos:

$$4 q_4 = 5q_5 = 20k_0 \text{ so } q_4 = 5k_0$$ $$4 q_3 = 5q_4 + 1 = 5^2k_0 +1 $$

Una vez más, debe asegurarse de que $\frac{5^2k_0 +1}{4}$ es un número entero. Continúe hasta llegar a $n$ . Reexpresará la $k_0$ de aquí en adelante (por eso he añadido el subíndice).

Answer 2

Me has pedido una pista, así que no te daré la respuesta completa:

Paso (1): Darse cuenta de que si K es una respuesta, también lo es K + n*5^(5+1) para cualquier n. Paso (2): La pista para este paso probablemente lo desvele todo, así que no la daremos. Paso (3):