¿Describir el centro del grupo de todo Homeomorfismo en R?

Question

Que $H(\mathbb{R})$ denota el conjunto de todo estrictamente creciente Homeomorfismo en $\mathbb{R}$. Entonces $H(\mathbb{R})$ es un grupo bajo composición. ¿Qué es el centro de este grupo?

Answer 1

El centro es trivial. Decir $f$ no es la identidad. Elegir $a$ $f(a)\ne a$. Sin duda existe $g$ $g(f(a))\ne f(a)$ y $g(a)=a$; por lo tanto, $f(g(a))\ne g(f(a))$.

Answer 2

Que $z\in H(\mathbb{R})$ estar en el centro. Entonces $z^{-1}$ está en el centro. That is, $$z^{-1}(f(x))=f(z^{-1}(x))\text{ for all }f\in H(\mathbb{R}).$ $ % fijo $c>0$, tomar $f=cz$ a $$z^{-1}(cz(x))=cz(z^{-1}(x))=cx\implies cz(x)=z(cx).$$ That is, $z$ is a line through the origin. Denote its slope by $a$. Since $z$ is in the center, it follows that $$af(x)=f(ax)\text{ for all }f\in H(\mathbb{R}).$$ This implies that $a=1$ since otherwise all homeomorphisms are homogeneous ($x\mapsto x ^ 3$ es un Homeomorfismo no homogénea). Por lo tanto, el centro es trivial.