Encontrar el generador del ideal principal

Question

El ideal $(9, 2 + 2\sqrt{10})$ de $\mathbb{Z}[\sqrt{10}]$ es un ideal principal; está generado por $1+\sqrt{10}$ .

Esto es bastante fácil de comprobar una vez que se ha encontrado, pero ¿alguien puede decirme alguna manera de llegar a este (u otro) generador? ¿Se podría hacer con lápiz y papel?

Normalmente utilizaría el algoritmo euclidiano, pero aquí no lo tenemos...

Answer 1

Tenemos la norma (aunque no siempre es positiva) obtenida al multiplicar $a+b\sqrt {10}$ con su conjugado $a-b\sqrt {10}$ Es decir $N(a+b\sqrt{10})=a^2-10b^2\in\mathbb Z$ . Así que tenemos $N(9)=81$ y $N(2+2\sqrt{10})=-36$ . Podemos restringir nuestra búsqueda a los elementos de norma que dividen a ambos $81$ y $36$ Es decir, debemos tener $N(a+b\sqrt{10})\in\{\pm1,\pm3,\pm9\}$ . Buscando pequeñas soluciones de esto te tropezarás con $1+\sqrt {10}$ que es a la vez un divisor de $9$ y $2+2\sqrt{10}$ y una combinación lineal de éstas, a saber $(1+\sqrt {10})\cdot 9-4\cdot (2+2\sqrt{10})$ .

Answer 2

Puedes hacer algo similar al algoritmo euclidiano, aquí.

Definir la función $f:\Bbb Z\left[\sqrt{10}\right]\to\Bbb Z_{\ge0}$ por $$f(a+b\sqrt{10})=|a^2-10b^2|.$$ Deberías ser capaz de demostrar que es una función multiplicativa, es decir, $f(xy)=f(x)f(y)$ --y que $u\in\Bbb Z\left[\sqrt{10}\right]$ es una unidad si y sólo si $f(u)=1.$

Tienes que encontrar el mayor factor común $x+y\sqrt{10}$ de $9,2+2\sqrt{10}$ . Tenga en cuenta entonces que $f(x+y\sqrt{10})$ debe ser el mayor factor común de $f(9)=81$ y $f(2+2\sqrt{10})=36.$ (¿Por qué?) Es decir, necesitamos $|x^2-10y^2|=9$ . En particular, sin embargo, observe que tenemos $$36=f(2+2\sqrt{10})=f(2)f(1+\sqrt{10})=4f(1+\sqrt{10}),$$ así que $1+\sqrt{10}$ es un candidato, que rápidamente podemos ver que es de hecho un factor de $9$ .

Answer 3

Sugerencia: deje que $\ w = 1\!+\!\sqrt{10}.\ $ Entonces $\ ww' = -\color{#c00}9.\ $ Supongamos que $\ (9,2w) = (a).\ $

Entonces $\ (aa') = (a)(a') = (9,2w)(9,2w') = 9(9,2w,2w',-4) = (\color{#c00}9),\ \ {\rm by}\ \ \ (9,4) = (1).$