Radio de convergencia de las series de potencia o geométricas

Question

Encontrar el radio de convergencia de una serie geométrica $$\sum_{n=1}^\infty a_n$$ Necesito utilizar la prueba de relación/raíz para encontrar $|L|<1$

Para encontrar el radio de convergencia de la serie de potencias $$\sum_{n=1}^\infty c_n (x-a)^n$$ Se supone que debo encontrar el límite $L$ de sólo el término constante $c_n$ ?

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(2x-5)^n}{n^2}, \qquad c_n = \frac{2^n}{n^2}, \qquad R = 2^{-1}=1/2$$

¿Cómo puedo saber qué es una constante? Libre de $n$ ? O debería centrarme en introducirlo en el formulario $\sum_{n=1}^\infty c_n (x-a)^n$ . Eso es lo que hice a continuación

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{n-3} + (x-1)^{n-1}}{4^n + 2^{2n-1}}$$

Primero factoricé lo que puedo

$$ = \sum_{n=1}^\infty (x-1)^n \cdot \frac{(x-1)^{-3} + (x-1)^{-1}}{4^n(1 + 2^{-1})}$$

Así que supongo que $$c_n=\frac{(x-1)^{-3} + (x-1)^{-1}}{4^n(1 + 2^{-1})}$$

Entonces $$L=|\frac{c_{n+1}}{c_n}|$$ Pero, ¿qué hago con el $x$ ?

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Se supone que el método correcto es saber que es una serie geométrica de proporción común $\frac{x-1}{4}$ . Entonces el radio es |x-1|<4 . Pero aquí, ¿no necesito obtener el radio de $x$ solo, sin el $-1$ ?

De todos modos, creo que lo que más me confunde es cuándo utilizar cada método. Para las series geométricas, estoy haciendo la prueba de relación/raíz para todo el $a_n$ mientras que en las series de potencia, estoy "separando" el $a_n$ en $c_n (x-a)^n$ ¿forma? Y haciendo pruebas en el constante términos ( $c_n$ )?

Answer 1

La prueba de la proporción es un enfoque más general que la prueba de "reconocerla como una suma geométrica" - obviamente porque esta última no funcionará si la suma no es, de hecho, una serie geométrica - pero ambas son válidas.

Una cosa que hay que tener en cuenta es que si se calcula $|c_{n+1}/c_n|$ utilizando sus definiciones de $c_n$ en el ejemplo que das, el numerador $(x-1)^{-3}+(x-1)^{-1}$ no depende de $n$ por lo que desaparecerá cuando calculemos el cociente de los dos coeficientes. Lo mismo ocurre con $(1+2^{-1})$ en el denominador.

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Definir $f_n:= b_n(x-a)^n$ y considerar la serie de potencias

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty f_n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-a)^n.$$

Si $\lim\limits_{n\to\infty} |b_{n+1}/b_n|=L$ entonces nuestra "segunda" prueba dice que el radio de convergencia es $R=1/L$ . ¿Por qué? Bueno,

$$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{f_{n+1}}{f_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{b_{n+1}(x-a)^{n+1}}{b_n(x-a)^n}\right|=L|x-a|,$$

por lo que la serie $\sum\limits_{n=0}^\infty f_n$ converge si $\big|L|x-a|\big|<1$ por nuestra prueba de ratio "original", de forma equivalente $|x-a|<R$ que define un círculo de radio $R$ (Nota: $a$ es el centro del círculo y no nos dice nada sobre el radio $R$ ). Esto muestra cómo la prueba "secundaria", de sólo comparar los coeficientes de $(x-a)^n$ es en realidad un atajo para aplicar la prueba de proporción original, donde probamos la secuencia $f_n$ por así decirlo.

Answer 2

Sin utilizar la prueba de relación, también se puede encontrar el radio de convergencia en este ejemplo,

$\sum_{n=1}^\infty c_n$ $\frac{(2x-5)^n} {n^2}$

Comparar la serie dada con la serie de potencias,

$\sum_{n=1}^{\infty}c_n(x-x_0)^n$

Lo tenemos, $c_n=\frac{1}{2^n n^2}$ y $x_0=(\frac{5}{2})^n$

$R=\lim_{n\to \infty}|c_n|^\frac{1}{n}$

$\ \ \ =\lim_{n\to \infty}|\frac{1}{2[(n)^\frac{1}{n}]^2}| $

$\ \ \ R=\frac{1}{2}$

$\ \ \ R=\frac{1}{r}$

$\ \ \ r=2 $

$\therefore$ El radio de convergencia es de 2

Además, el intervalo de convergencia $(x_0-r,x_0+r)$

En este ejemplo la prueba de la raíz es muy útil porque aquí la constante que tiene la potencia n