Prueba de que el número$e$ existe según la siguiente definición

Question

Mi libro define el número$e$ de la siguiente manera (Simmons 'Calculus With Analytic Geometry, 2nd edition, pg. 265):

$e$ es el número para el cual$\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1$

Sin embargo, no proporciona una prueba de que exista ese número. ¿Cómo podemos probar eso? Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Que una sutil y muy interesante la pregunta. Una respuesta precisa dependerá de lo que su libro ha asumido anteriormente o se demostró acerca de exponenciación. Modulo que, voy a intentar un esquema de un argumento.

La declaración de que la definición asume que usted sabe sobre la crianza de los números positivos arbitrarios arbitraria de los exponentes. Entonces quieres demostrar que fija $b$ el límite $$ Un(b) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{b^h -1}{h} $$ existe (a lo largo del camino, demostrando que $f(x) = b^x$ es diferenciable y proporcional a sus derivados).

A continuación, mostrar $A$ es monótonamente creciente. Claramente $A(2) < 1$$A(3) > 1$, así que hay un número $e$ $2$ $3$ que $A(e) = 1$. Mirando hacia atrás, se identifican a $A(x) = \ln(x)$.

Dudo que su libro ha hecho el trabajo necesario para hacer de este riguroso.

Sin embargo, creo que es una buena manera intuitiva para llegar a $e$. Es lo que necesitas para describir la función que es su propia derivada. Que es lo que hace que $e$ "natural" y por qué aparece en muchos problemas en el crecimiento y la decadencia.

Answer 2

Yo soy de la opinión de que esa definición es muy muy malo, porque $e$ hay definido por el uso de $e$, se puede ver $e$ en el lado derecho de la expresión $\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1$.

Así que, para probar que tal un $e$ existe es necesario definir de otro modo, tal vez como un límite de alguna secuencia (como de costumbre), y luego pasar a definir la función exponencial y, a continuación, utilizar las propiedades de la función para demostrar que el límite.

El camino de $e$ se define en el libro es muy muy circular, al menos en mi opinión.

O, como Randall escribió, se puede mostrar que existe uno y sólo un número $a$ que $\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}=1$ y, a continuación, llamar a ese $a$ por el nombre de $e$, pero las cosas en su libro parecen ser diferentes.

Answer 3

Definir$f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^h - 1}{h}$. Claramente$f(1) = 0$ y (siguiendo la prueba de que la derivada y el límite conmutan)$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h x^{h-1}}{h} = 1/x$, entonces$f(x) = \int_1^x \frac{d\xi}{\xi}$. Puede probar que esta integral aumenta sin límite en$x \to \infty$ (incluso sin saber que es un logaritmo) al compararla con la serie de armónicos, por lo que$f$ aumenta y no aumenta monótonamente. La existencia y la singularidad de$f^{-1}(1)$ siguen.

Answer 4

Como usted ha declarado que su libro define la $e$ como el número para el que

$$\lim_\limits{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$$

Debo decir que, la definición no es matemáticamente sonido y circular en la naturaleza y también parece confuso en cuanto a si se utiliza la función exponencial para definir $e$.

Sin embargo, lo que creo que pretende decir es que

Si, por algún número $x$, $$\lim_\límites{h\to 0}\frac{x^h-1}{h}=1$$ then we can say that $x=e$.

Esto podría ser similar a su libro de definición, pero esto es relativamente claro y matemáticamente sonido; todavía es circular y estoy de probarlo.

Esta definición puede ser reescrita como $$\lim_\limits{h\to 0}\frac{x^h-1}{h}=1$$ $$\Rightarrow \lim_\limits{h\to 0}\frac{x^{0+h}-x^0}{h}=1$$ $$\Rightarrow \lim_\limits{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=1 \,\,\,\,\,\, \text{where} \,\,\,f(p)=x^p$$ $$\Rightarrow \frac{d}{dp}(x^p)=1 \,\,\,\,\,\, \text{at} \,\,\,\, p=0$$ $$\Rightarrow x^p \ln x=1 \,\,\,\,\,\, \text{at} \,\,\,\, p=0$$ $$\Rightarrow \ln x=1 $$ $$\Rightarrow x=e $$

Por lo que esta definición implica que ya está definido el logaritmo natural sin definir $e$, que es bastante infundada e ilógica.