$\newcommand{\limitp}{\alpha}\newcommand{\innerp}{\beta}$I estoy fascinado por las integrales definidas. La exploración de las matemáticas.stackexchange, me he encontrado con muchas e interesantes las integrales de la forma $$ \mathcal{J}(b,c,d;\innerp,\limitp) = \int_0^{\limitp} \, \frac{\log{(1+\innerp x^b)}}{(1+x^c)^d} \ \mathrm{d}x, \qquad \alpha,b,c,d\ge0, $$ las soluciones a las que me han enseñado mucho. Muchos casos han sido evaluados, algunos con gran dificultad y habilidad. Aquí es un intento de recopilar y admirar algunos de los que trabajan, y tal vez construir a partir de ella. Algunas de las técnicas utilizadas incluyen la expansión de la serie, el contorno de la integración, la diferenciación con respecto a $\innerp$ o tal vez incluso de $b$, y las respuestas que a menudo implican la evaluación de Euler sumas y funciones Hipergeométricas, aunque a veces parece que estas dificultades pueden ser eludidos.
Mi pregunta, entonces, es "¿podemos construir sobre el trabajo realizado en estas respuestas, y desarrollar un sentido más general, la teoría completa para las integrales de este tipo, o incluso ampliar nuestra colección de casos concretos?"
Si usted piensa que usted puede evaluar un caso especial en una forma cerrada, o incluso una interesante conjetura, la respuesta aquí. Recompensa va a la mejor o la más única respuesta. Estoy particularmente interesado en los grandes valores de$b,c$$d$, aunque siéntase libre de hacer cualquier contribución.
Fácil para empezar, responde a utilizar la sustitución y la diferenciación con respecto a un parámetro,
$\limitp=1$, $\innerp=1$, $b=1$, $c=2$, $d=1$
Un intento en un caso más general,
$\limitp=1$, $\innerp=1$, $c=1$, $d=1$
Un poco menos caso general,
$\limitp=\infty$, $\innerp=1$, $b=4n$, $c=2$, $d=1$
Tres integrales en una sola pregunta, con el contorno de la integración de figurar de manera prominente,
$\limitp=\infty$, $\innerp=1$, $b=\left\{2,3,4\right\}$, $c=2$, $d=2$
Consiste en el cociente de oro como un coeficiente de
$\limitp=1$, $\innerp=\phi$, $b=2$, $c=1$, $d=2$
Esto es verdaderamente increíble, implica un exponente irracional y bastante pesado, número teórico de las ideas,
$\limitp=1$, $\innerp=1$, $b=2+\sqrt{3}$, $c=1$, $d=1$
Relacionadas, pero ligeramente más generales integrales, algunos con interesantes soluciones se pueden encontrar aquí y aquí y aquí y aquí y aquí.
En particular, el caso cuando $\limitp=\infty$, $\innerp=1$, $c=2$, $d=2$ parece muy interesante. Podemos evaluar los casos de $b>4$? Uno de los casos se destaca como muy simple, cuando Mathematica evalúa el caso de $b=6$, podemos generar el resultado $$ \mathcal{J}(6,2,2,1,\infty) = \frac{\pi}{4}\left(2\log 6 - 3\right). $$
