Medidas de discrepancia para matrices de transición

Question

Estoy trabajando en el modelado de matrices de transición, y para esto necesito una medida de discrepancia o falta de ajuste: es decir, si tengo una matriz$T$ y una matriz objetivo$T_0$, quiero para poder calcular qué tan lejos$T$ es de$T_0$. ¿Alguien podría proporcionar consejos sobre qué medida debería usar?

He visto algunas referencias al uso de una medida de error cuadrado cuadrada, es decir, sumar las diferencias al cuadrado de los elementos de$T$ y$T_0$, pero esto parece más bien ad-hoc.

Answer 1

Mientras su matriz representan la probabilidad condicional yo creo que el uso de una matriz general de la norma es un poco artificial. El uso de algún tipo de distancia geodésica en el conjunto de la matriz de transición puede ser más pertinente, pero yo claramente prefieren volver a las probabilidades.

Supongo que usted quiere comparar $Q=(Q_{ij})$ $P=(P_{ij})$ $P_{ij}=P(X^P_{t}=j|X^P_{t-1}=j)$ y las de $P$ (resp. $Q$ ), existe una única stationnary medida $\pi_{P}$ (resp. $\pi_{Q}$).

Bajo estos supuestos, supongo que es significativo para comparar el $\pi_{P}$ $\pi_{Q}$ $L_{1}$ distancia: $\sum_{j}|\pi_{P}[j]-\pi_{Q}[j]|$ o hellinger distancia: $\sum_{j}|\pi^{1/2}_{P}[j]-\pi^{1/2}_{Q}[j]|^2$ o divergencia de Kullback: $\sum_{j}\pi_{P}[j] \log(\frac{\pi_{P}[j]}{\pi_{Q}[j]})$.

Answer 2

¿Por qué uno quiere que la medida de la discrepancia a ser una verdadera métrica? Hay una enorme literatura sobre la axiomática de las caracterizaciones de la I-divergencia como medida de distancia. No es ni simétrica ni satisface la desigualdad del triángulo.

Espero que por 'la matriz de transición' que significa 'la probabilidad de la matriz de transición'. No importa, siempre y cuando las entradas son no negativas, I-divergencia es considerado el "mejor" medida de discriminación. Véase, por ejemplo, http://www.mdpi.com/1099-4300/10/3/261/. De hecho, ciertos axiomas que cualquiera sentiría deseable llevar a las medidas que se nonsymmetric en general.