dejar $f (x) = x^p - a \in F[x]$. Demuestre que$f (x)$ es irreductible sobre$F$ o$f (x)$ splits en$F$.

Question

Deje$F $ ser un campo de la característica$p$ y deje$f (x) = x^p - a \in F[x]$. Demuestre que$f (x)$ es irreductible sobre$F$ o$f (x)$ splits en$F$.

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Estoy completamente atrapado en eso. Puede alguien ayudarme por favor. Gracias por su ayuda

Answer 1

Supongamos que$f(x)$ tiene una raíz$y$ en$F$. Entonces $y^{p} =a$. Si$p$ es impar,

ps

Entonces$$f(x) = x^p - a = x^p - y^p = x^{p} + (-y)^{p} = (x-y)^p$ se divide. Si$f(x)$ es par, entonces es$p$, y si tiene una raíz de un cuadrático, tiene el otro.

Answer 2

Considere la posibilidad de la división de campo de $E$$f(x)$$F$.
Hay tres posibles factorizations de $f(x)$$E[x]$.
(i) $f(x)=(x-r_1)(x-r_2)\cdots (x-r_p)$.
(ii) $f(x)=(x-r_1)^s(x-r_2)^s\cdots (x-r_t)^s$, donde $s\geq 2$, $t\geq 2$.
(iii) $f(x)=(x-r_1)^p$.
Desde $\gcd{(f(x),f'(x))}\neq 1$, el caso (i) es imposible.
Desde $p$ es un prime (la característica de un campo), el caso (ii) es imposible.
El ser posible que el es $f(x)=(x-r_1)^p\in E[x]$. Deje $r=r_1$.

Si $r\in F$, a continuación, $f(x)$ se divide en $F[x]$.

Supongamos que $r\notin F$. Desde $F[x]$ es una U. F. D.,
escribir $f(x)$ como producto de algunos polinomios irreducibles $c_1(x), c_2(x), ..., c_n(x)$.

Para cada una de las $i=1,2,...,n$, $f(x)$ tiene una raíz en $K_i=F[x]/\langle c_i(x)\rangle$.
Pero la única raíz de $f(x)$$r$. Por lo tanto, $f(x)=(x-r)^p\in K_i[x]$.

Desde $c_i(x)\mid f(x)$, $c_i(x)=(x-r)^{q_i}\in K_i[x]$

Tenga en cuenta que $K_i=E$ por cada $i=1,2,...,n$ por la singularidad de la división de campo.
Por lo tanto, $q_i=\deg{c_i(x)}=[K_i:F]=[E:F]$.
Dice $q_1=q_2=\cdots=q_n=q=[E:F]$.
A continuación,$p=\deg{f(x)}=n\cdot q$$n=1$$q=p$.
$f(x)=c_1(x)$ es irreductible.
(Si $n=p$$q=1$,$\deg{c_i(x)}=1$$K_i=F$$r\in F$, contrario a la hipótesis.)