Dinámica de las repeticiones de$f(z) = z^{2} +\frac{1}{4}$

Question

Esta es probablemente una pregunta clásica y muy probablemente una pregunta fácil, pero no pude encontrar una respuesta. Si tenemos la iteración$z_{n+1}=g(z_n)$, donde$$g(z) = z + a z^{2},$$ with $ a \ ne 0$, then using a suitable linear change of coordinates it can be brought to the form $$f(z) = z^{2} + \frac{1}{4}.$ $ ¿Hay un vecindario del punto fijo único$z=\frac{1}{2}$ de$f$, en el cual la secuencia de iteraciones permanece limitada?

Answer 1

La respuesta en NO.

Vamos a mostrar que no hay abierto barrio de $z=\frac{1}{2}$, donde la recorre de $f(z)=z^2+\frac{1}{4}$ siendo limitada.

Tome $z_0=\frac{1}{2}+\varepsilon$ donde $\varepsilon>0$. A continuación, la secuencia $$z_{n+1}=f(z_n), \,\,\,n\in\mathbb N,$$ is strictly increasing and thus convergent in $(0,\infty]$. But if it had a finite limit, that would be a fixed point of $f$, which is impossible, as the only fixed point of $f$ is $\frac{1}{2}$ and $\lim f(z_n)>\frac{1}{2}$.

Nota. Hemos inestabilidad sólo en la dirección positiva (es decir, $\vartheta=0$). De hecho, por cada $\vartheta\in(0,2\pi)$, existe un $\varepsilon_\vartheta$, de tal manera que, si $r\in(0,\varepsilon_\vartheta)$, entonces la secuencia de $z_0=\frac{1}{2}+r\mathrm{e}^{i\vartheta}$, $z_{n+1}=f(z_n)$, sigue siendo limitada. (Ver aquí.)

Answer 2

No, no hay. El punto$z=1/2$ está en el límite del conjunto de Julia.