$a+bi$ es primordial en$\mathbb{Z}[i]$ si y solo si$a^2+b^2$ es primordial en$\mathbb{Z}$

Question

$a+bi$ es primordial en$\mathbb{Z}[i]$ si y solo si$a^2+b^2$ es primordial en$\mathbb{Z}$.

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¿Cómo puedo probar esto? puede alguien ayudarme por favor?

Answer 1

Esto no es cierto cuando se $b=0$ $a$ es una corriente primos de la forma $4k+3$. Y por la misma razón que no es cierto si $a=0$ $b$ es una corriente primos de la forma $4k+3$.

Agregado: Si $a^2+b^2$ es una corriente principal, a continuación, $a+bi$ es una Gaussiana prime. Para suponer que $a+bi=(s+ti)(u+vi)$. Por una norma de cálculo, tenemos $a^2+b^2=(s^2+t^2)(u^2+v^2)$. Así que desde $a^2+b^2$ es primo, uno de $s+ti$ o $u+vi$ es una unidad.

En el otro sentido, supongamos $a+bi$ es una Gaussiana prime, donde ni la $a$ ni $b$ es igual a $0$. Nos muestran que $a^2+b^2$ es una corriente principal. La prueba iba a ser fácil, si asumimos estándar de los resultados que caracterizan a la Gaussiana de los números primos. Así que trate de no usar mucho la maquinaria.

Si $a$ $b$ son ambos impares, a continuación, $a+bi$ es divisible por $1+i$. A continuación, $a+bi$ es un asociado de $1+i$, e $a^2+b^2=2$.

Así que podemos suponer que la $a$ $b$ tienen paridades opuestas. En ese caso, $a+bi$ $a-bi$ son relativamente primos. Para cualquier común divisor $\delta$ debe dividir $2a$$2b$. Desde $a$ $b$ han opuesto a la paridad, cualquier común divisor divide $a$$b$, así que debe tener la norma $1$ si $a+bi$ son primos.

Ahora supongamos que $p$ es un primo que divide a $a^2+b^2$. A continuación, $p$ divide $(a+bi)(a-bi)$. Tenga en cuenta que $p$ no puede ser una Gaussiana prime, otra cosa sería dividir uno de $a+bi$ o $a-bi$,

Deje $\pi$ ser una Gaussiana primer que divide $p$. A continuación, $\pi$ se divide una de $a+bi$ o $a-bi$. Por lo $\pi$ debe ser un socio de uno de estos, y el conjugado de a $\pi$ es un asociado de los otros. Desde $a+bi$ $a-bi$ arer relativamente primos, llegamos a la conclusión de que $(a+bi)(a-bi)$ divide $p$, lo que obliga $p=a^2+b^2$.

Answer 2

Aquí hay algo que es cierto: $a+bi$ es el primer en $\def\Z{\Bbb Z}\Z[i]$ implica que el $(a+bi)\Z[i]\cap\Z=p\Z$ para algunos (ordinario) prime $p$$\Z$. Esto es debido a que, (1) $a+bi$ es irreductible e $\Z[i]$ es un Euclidiana y por lo tanto única factorización de dominio, $(a+bi)\Z[i]$ es un primer ideal de $\Z[i]$, por lo que (2) su intersección con la a $\Z$ es un primer ideal de $\Z$ (como siempre es cierto para la intersección de un alojamiento ideal y un sub-anillo), y (3) la intersección no se reduce a$~\{0\}$ debido a $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\in\Z\setminus\{0\}$. (Aquí, como en la pregunta, no tiene "si y sólo si": aquí la inversa falla por $a+bi$ igual o asociado a un número primo $p\not\equiv3\pmod4$, $p=2$ o $p=5$; a continuación,$(a+bi)\Z[i]\cap\Z=p\Z$, pero $p$ y, por tanto, $a+bi$ está compuesto en $\Z[i]$.)

El caso de $a+bi$ es el primer en $\Z[i]$ se divide en dos subcases. Por lo anterior no existe un número primo $p$$z\in\Z[i]$$p=(a+bi)z$; a continuación,$p^2=N(p)=N(a+bi)N(z)$, y $z$ a no es invertible, en cuyo caso $N(a+bi)=p$ $z=a-bi$ o $z$ es invertible, en cuyo caso $a+bi\in\{p,ip,-p,-ip\}$ y se puede demostrar que $p\equiv3\pmod4$. De hecho, la irreductibilidad de $p$ en la UFD $\Z[i]$ significa que $\Z[i]/p\Z[i]$ es una parte integral de dominio (campo), por lo que el kernel $(X^2+1)$ de el anillo de morfismos $(\Z/p\Z)[X]\to\Z[i]/p\Z[i]$ envío de $X\mapsto i$ es un alojamiento ideal, por lo $X^2+1\in(\Z/p\Z)[X]$ es irreductible, que excluye tanto $p=2$ (para el que $X^2+1=(X+1)^2$) y $p\equiv1\pmod4$ (en cuyo caso $X^2+1=(X+a)(X-a)$ algún elemento $a$ orden $4$ en el grupo cíclico $(\Z/p\Z)^\times$ orden $p-1$.