$\sin x$ como una suma que involucra partes fraccionarias

Question

¿Existe una fórmula que da un sentido a la ecuación formal $$ \ sin x = - \ pi \ sum_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ frac {\ mu (n)} {n} \ left \ { \ frac {nx} {2 \ pi} \ right \}, $$ donde$\mu$ es la función de Möbius,$\{\cdot\}$ representa la parte fraccionaria de un número real?

A saber, la serie del lado derecho no converge , pero ¿se puede hacer convergente a$\sin x$ después de aplicar algún método de suma "natural"?

Answer 1

¡Las series en el lado derecho convergen! ( H. Davenport, En algunas series infinitas que involucran funciones aritméticas , Quart. J. Math. Oxford Ser. 8 (1937), 8-13. )