¿Es Hessian simétrico para la función$\phi : X \to \Bbb R$?

Question

Deje $X$ ser un espacio de Banach y $\phi : X \to \Bbb R$ $C^2$ función.

Mi pregunta:

Es $\nabla^2 \phi (\bar{x})$ , el de Hesse de $\phi$ a punto de $\bar{x} \in X , $ simétrica operador? (como es realmente simétrica la matriz en el caso de $X$ es de dimensión finita)

Me siento como la respuesta general es que NO arbitrarias espacio de Banach, pero todavía no tengo un contador de ejemplo para él, pero sospecho que es cierto en espacios de Hilbert. Tenga en cuenta que$\nabla \phi (\bar{x} ) \in X^* $$ \nabla^2 \phi (\bar{x} ) \in L ( X, X^* ) $$ ( \nabla^2 \phi (\bar{x}) )^* \in L ( X^{**} , X^* ) $. Así que en caso de que la pregunta tiene sentido debemos tener en cuenta que la configuración de espacio de Banach reflexivo espacio.

Por symetricity de $\nabla^2 \phi(\bar{x})$ me refiero $$ \langle y , \nabla^2 \phi (\bar{x}) x \rangle = \langle \nabla^2 \phi (\bar{x}) y , x \rangle $$ for all $ (x , y ) \in X \times X $

Answer 1

Sí. No literales citas de Calcul Differéntiel por Henry Cartan.

1. Vamos a ser $E$, $F$ los espacios de Banach, $U\subset E$ abierto Si $f:U \longrightarrow F$ es dos veces diferenciable en $a\in U$, $D^2f(a)$ (segundo diferencial) es un elemento del espacio de $L(E,L(E,F))$ (espacio de continuo lineal de las funciones de la $E$...).

2. Hay un isomorfismo canónico (como los espacios de Banach, no sólo como espacios vectoriales) $$L(E,L(E,F))\approx L_2(E,F)$$ donde el lado derecho es el espacio de bilineal funciones continuas $E\times E\to F$ (Sección 1.9).

3. A través de la identificación previa, $D^2f(a)$, ahora se considera como un elemento de $L_2(E,F)$, es simétrica (Teorema 5.3.1).