Ideales primos en ciertas extensiones locales de anillos

Question

$(R,m)\subseteq (S,n)$ es una extensión local de anillos y $S$ es una entidad finitamente generada $R$ -módulo. Si $P$ es un ideal primo de $R$ tal que $P\subset m^2$ y $P'$ es un ideal primo en $S$ tal que $P'\cap R=P$ es $P' \subset n^2$ ?

Siguiendo el contraejemplo de Georges, me preguntaba si esto funciona bajo supuestos adicionales. Por ejemplo, si $S$ es un dominio o si $R,S$ ¿están ambos completos?

Answer 1

No.

Toma $R=k=$ un campo, $P=m=m^2=(0)$ y $S=k[X]/(X^2)=k[\epsilon ],\; P'=n=(\epsilon)\nsubseteq n^2=(0)$

Answer 2

En el ejemplo de Georges $R, S$ son ambos completos.

Este es un ejemplo con $R, S$ dominios locales completos: dejar que $k$ sea un campo, $R=k[[x,y]]$ , $S=k[[x, y, z]]$ con $z^2=y^3$ . Sea $P'=(x^2+z)S$ . Como $(x,y,z)^2=(x^2,xy, y^2, xz, yz)$ , $P'$ no está contenida en $(x,y,z)^2={\mathfrak n}^2$ .

Afirmo que $P'\cap R=(y^3-x^4)R\subset (x,y)^2={\mathfrak m}^2$ que es entonces un contraejemplo.

Prueba de la reclamación: Observe que $S=R\oplus zR$ . Sea $$f=(x^2+z)(h_0(x,y)+zh_1(x,y))\in P'\cap R.$$ Entonces $f=x^2h_0+y^3h_1+z(h_0+x^2h_1)$ . Por lo tanto, $h_0=-x^2h_1$ y $f=(y^3-x^4)h_1$ . Por otro lado $$y^3-x^4=z^2-x^4=(z-x^2)(z+x^2)\in P'\cap R$$ y la reclamación está probada.