Encuentra este límite$\frac{a_n}{b_n}$

Question

Suponer que $a_0 = \sqrt5$, $a_{n+1} = 2a_n^2-1$. Definir$b_n :=2^na_0a_1...a_{n-1}$. Muestra esa $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = 2$.

Puedo demostrar que este límite existe al mostrar que la secuencia es contractiva, después de lo cual no tengo idea de cómo encontrar su valor. ¿Podría alguien señalarme en la dirección correcta? El tipo de límite tiene sentido porque ambos$a_n$ y$b_n$ tienen más o menos el doble de valor cada vez, con el anterior 'paso' por delante de este último

Answer 1

¡Esta no es una respuesta, solo un intento, puede ser malo!

$a_0 = \sqrt5$,$a_{n+1} = 2a_n^2-1$. Definir$b_n :=2^na_0a_1...a_{n-1}$

entonces podemos escribir

$ a_1 = 9, a_2 = 161 ... $

$b_1=2\sqrt5, b_2=36\sqrt5 $

$\frac{a_n}{b_n}=\frac{2a^2_{n-1} - 1}{2^n a_0..a_{n-1}}$

$\frac{a_n}{b_n}=\frac{2a^2_{n-1} }{2^n a_0..a_{n-1}}-\frac{1}{2^n a_0..a_{n-1}}$

$\frac{a_n}{b_n}=\frac{a_{n-1} }{2^{n-1} a_0..a_{n-2}}-\frac{1}{2^n a_0..a_{n-1}}$

ps