Encontrar el espectro del operador integral

Question

Tengo el siguiente operador integral: $$(Ku)(x)=\int_{0}^{1} k(x,y)u(y) \mathop{dy}$$ con $k(x,y)=$ min $ \{ x,y \}$ para $0 \leq x,y \leq 1$ . $\\$

Ya he mostrado $K$ es un operador compacto y autoadjunto, pero ahora quiero encontrar el espectro de $K$ . No entiendo cómo hacerlo. ¿Tengo que encontrar los valores propios? Si es así, ¿cómo puedo hacerlo? (Estoy aprendiendo por mi cuenta el análisis funcional, así que tal vez hay una manera fácil de hacer esto que no he encontrado? $\\$

Gracias de antemano.

Answer 1

Desde $K$ es compacto, $0\in\sigma(K)$ (porque $K$ no es invertible). Porque $K$ es compacto, cualquier elemento no nulo de su espectro tiene que ser un valor propio.

Supongamos ahora que $Ku=\lambda u$ para algunos $\lambda\ne0$ . Esto, con su específica $k$ Parece que $$ \lambda u(x)=\int_0^x y\,u(y)\,dy-x\,\int_1^x u(y)\,dy. $$ Desde $u$ es integrable (en caso contrario $Ku$ no tiene sentido), el lado derecho es continuo; entonces $u$ es continua. Pero entonces el lado derecho es diferenciable, por lo que $u$ es diferenciable. Obsérvese también que $u(0)=0$ , de nuevo porque el lado derecho es $0$ en $x=0$ .

Ahora, si diferenciamos, $$ \lambda u'(x)=x\,u(x)-\int_1^xu(y)\,dy-x\,u(x)=-\int_1^xu(y)\,dy. $$ Razonando como antes, deducimos que $u'(1)=0$ y que $u'$ es diferenciable. Tomando de nuevo las derivadas, $$ \lambda u''(x)=-u(x). $$ El caso $\lambda=0$ da $u=0$ Así que $0$ no es un valor propio (aunque pertenece al espectro). Cuando $\lambda\ne0$ , este es un problema de valor límite de segundo orden fácil: $$ u''+\frac1\lambda\,u=0,\ \ u(0)=0, \ u'(1)=0. $$ La solución general es, si escribimos $r=1/\sqrt\lambda$ , $$ u(x)=\alpha\cos rx+\beta\sin rx. $$ Las condiciones iniciales obligan a $\alpha=0$ , $\cos r=0$ . Así que $r=\frac{2k+1}2\pi$ , $k\in\mathbb Z$ Es decir $$ \frac1{\sqrt\lambda}=\frac{2k+1}2\pi, $$ por lo que los valores propios vienen dados por $$ \lambda_n=\frac4{(2n+1)^2\pi^2}, \ n\in\mathbb N\cup\{0\}, $$ con las correspondientes funciones propias $$ u_n(x)=\sin\frac{(2n+1)\pi}2\,x $$

Answer 2

Siguiendo la notación de Martin, las condiciones de contorno deben ser $u(0) = 0$ y $u'(1) =0$ . Así que los valores propios son $\left[\frac{(2n+1)\pi}{2}\right]^{2}$ .