¿Por qué la mejor aproximación polinómica a una función par es incluso?

Question

He visto esta indicado y parece intuitivamente obvio, pero no puedo demostrarlo. Tengo la sensación de que puede ser debido a que no aún en el mejor de approximant no llegaría al equioscillation propiedad de la mejor aproximación (si |f-p|=d, donde p es el mejor polinomio de aproximación de orden n, hay al menos n+2 puntos sucesivos en el intervalo bajo consideración, donde alternativamente |f-p|=+-d ).

Nota: Por "mejor aproximación" me refiero a que el polinomio que minimiza |f-p| en [-1,1] donde |.| es el sup norma. Así por ejemplo, la mejor aproximación de orden n, p en Pn={polinomios de grado<=n} que hace esto.

Answer 1

En primer lugar, debemos precisar lo que entendemos por "mejor que la aproximación." Si usted está interesado en el intervalo de $[-1,1]$ y su función es $f(x)$, una definición razonable de aproximación de error por una segunda función $g(x)$ es $$\int_{-1}^1 [f(x)-g(x)]^2\,dx.$$

Ahora supongamos $f(x)$ es una función par, y $e(x)$ incluso un polinomio de aproximación a $f(x)$. Podemos mejorar la aproximación mediante la adición de alguna extraña términos polinomiales $o(x)$? Vamos a ver:

\begin{align*} \int_{-1}^1 [f(x)-e(x)-o(x)]^2\,dx &= \int_{-1}^1 [f(x)-e(x)]^2 - 2[f(x)-e(x)]o(x) + o(x)^2\,dx\\ &= \int_{-1}^1 [f(x)-e(x)]^2\,dx + \int_{-1}^1 o(x)^2\,dx -2\int_{-1}^1[f(x)-e(x)]o(x)\,dx. \end{align*} Ahora vamos a utilizar el hecho de que $f$ $e$ son aún, y $o$ es impar: $$\int_{-1}^1[f(x)-e(x)]o(x)\,dx = -\int_0^1[f(x)-e(x)]o(x)\,dx + \int_0^1 [f(x)-e(x)]o(x)\,dx = 0.$$

Por lo tanto $$\int_{-1}^1 [f(x)-e(x)-o(x)]^2\,dx = \int_{-1}^1 [f(x)-e(x)]^2 + \int_{-1}^1 o(x)^2\,dx \geq \int_{-1}^1 [f(x)-e(x)]^2$$ y estabas mejor sin los términos raros.

EDIT: Por diferentes normas, llevar a cabo diferentes sabores de el mismo argumento. Por ejemplo, para el $\sup$ norma, \begin{align*} \sup_{x\in [-1,1]} |f(x)-e(x)-o(x)| &= \sup_{x\in [0,1]} \max\left(|f(x)-e(x)-o(x)|,|f(x)-e(x)+o(x)|\right)\\ &\geq \sup_{x\in [0,1]} |f(x)-e(x)|\\ &= \sup_{x\in [-1,1]} |f(x)-e(x)|. \end{align*}

Answer 2

Si estás aproximar aún suave (analítica) de la función en $[-1,1]$, con una serie de Maclaurin, sólo tenemos que utilizar este hecho:

Demostrar que la derivada de una función derivable es impar, y la derivada de una impar es par.

Junto con el hecho de que incluso las funciones continuas tienen la propiedad de que $f(0)=0$. A continuación, sólo en condiciones de permanecer en la serie.