Péndulo con punto de apoyo giratorio de Landau-Lifschitz

Question

He encontrado este problema en Landau-Lifschitz vol.1 (Mecánica)

Un péndulo simple de masa $m$ , longitud $l$ cuyo punto de apoyo se mueve uniformemente en un círculo vertical con frecuencia constante $\gamma$ .

$$$$ The problem is, of course, to find the Lagrangian. So I turned to Cartesian coordinates $ x $ and $ y $ in order to construct the problem in terms of $ \fí $ and the rotation terms, i.e. $$ x = a \cos{\gamma t} + l \sin{\phi} $$ $$ y = -a \\\Nsin{{gamma t}} + l \cos{\phi}$$ Tomo la derivada temporal de cada una, la elevo al cuadrado, la sumo, construyo el término cinético y el potencial, nada del otro mundo... (pero aquí está el procedimiento de todos modos en aras de la exhaustividad, tal vez ahí esté el error):

$$\dot{x} = -a \gamma \sin(\gamma t) + l \dot{\phi} \cos{\phi}$$ $$\dot{y} = -a \gamma \cos(\gamma t) - l \dot{\phi} \sin{\phi}$$

$$ \dot{x}^2 = a^2 \gamma^2 \sin^2(\gamma t) + l^2 \dot{\phi}^2 \cos^2{\phi} - 2al \gamma \dot{\phi} \sin{(\gamma t)} \cos{\phi}$$ $$ \dot{y}^2 = a^2 \gamma^2 \cos^2(\gamma t) + l^2 \dot{\phi}^2 \sin^2{\phi} + 2al \gamma \dot{\phi} \cos{(\gamma t)} \sin{\phi}$$ $$\dot{x}^2 + \dot{y}^2 = a^2 \gamma^2 + l^2 \dot{\phi}^2 + 2al\gamma\dot{\phi}\sin(\phi -\gamma t) $$ $$\text{also} \hspace{2cm} V=-mgy=-mg(-a \sin{\gamma t} + l \cos{\phi})$$ y obtengo este Lagrangiano: $$\mathcal{L} = \frac{1}{2}m(a^2 \gamma^2 + l^2 \dot{\phi}^2 + 2al\gamma\dot{\phi}\sin(\phi -\gamma t)) + mg(-a \sin(\gamma t) + l\cos{\phi})$$ Entonces dejo los términos que son derivados totales del tiempo, es decir, estos: $$ \frac{1}{2} ma^2 \gamma^2$$ $$-mga \sin(\gamma t)$$ Eso me deja con este Lagrangiano: $$\mathcal{L}_{Me} = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\phi}^2 + mal\gamma\dot{\phi}\sin(\phi -\gamma t) + mgl\cos{\phi}$$

Pero Landau da este: $$\mathcal{L}_{Landau} = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\phi}^2 + \color{red}{mal\gamma^2 \sin(\phi -\gamma t) }+ mgl\cos{\phi}$$

¿Me estoy perdiendo algo? ¿De dónde viene ese término rojo?

Answer 1

Comparemos el Lagrangiano de Landau y el dado por $\mathcal L_{Me}$ en su pregunta:

$$\mathcal{L}_{Landau}-\mathcal{L}_{Me}=mal\gamma^2\sin(\phi-\gamma t)-alm\gamma\dot\phi\sin(\phi-\gamma t)=\\ =mal\gamma\left((\gamma-\dot\phi)\sin(\phi-\gamma t)\right)=\\ =mal\gamma \frac{\text{d}}{\text{d}t}\cos(\phi-\gamma t)$$

Ahora la diferencia es obviamente una derivada total del tiempo, por lo tanto no has cometido un error, sólo has simplificado el Lagrangiano.

Answer 2

L=T-U es correcto. Sin embargo, para obtener la ecuación del movimiento wrt /phi es necesario utilizar d/dt (L/parcial phi') - L/parcial phi =0.

Si se sigue esto, se obtiene la ecuación de Landau.