Generalización de la función Factorial

Question

¿Existe alguna generalización estándar de la función Factorial en la que los "saltos" por multiplicación sean un parámetro? Por ejemplo, una generalización podría ser: $a(a-b)(a-2b)(a-3b)...1$

Intenté generalizarlo yo mismo y llegué a algunos resultados interesantes.

He definido $f(a, b)$ como $f(a, b) = a(a-\frac{1}{b})(a-\frac{2}{b})(a-\frac{3}{b})...$ donde $b\neq0$ y $a,b$ son números enteros. Estos son algunos de los resultados que he obtenido:

1. El factorial de $n$ sería $f(n,1)$ .
2. $(nk)!$ = $k^nf(n,k)$ porque $(nk)!=nk(nk-1)(nk-2)(nk-3)... = k^nn(n-\frac{1}{k})(n-\frac{2}{k})(n-\frac{3}{k})$
3. $(nk)! = (kn)!$ => $k^nf(n,k)=n^kf(k,n)$ => $\frac{k^n}{n^k} = \frac{f(k,n)}{f(n, k)}$
4. De 1, 2 y 3: $f(nk, 1) = k^nf(n,k)=n^kf(k,n)$
5. $f(n, 0) = \infty$ porque $f(n,0)=n(n-0)(n-0)(n-0)...=n^\infty=\infty$

Si no está normalizado, ¿servirá para algo?

Answer 1

En las décadas de 1700 y 1800 se trabajó mucho (sospecho que en gran parte olvidado ahora) sobre este tipo de cosas. Puede encontrar gran parte de ellos buscando en Google factorial en google-books, restringiendo los resultados a que procedan del siglo XIX. Aquí hay dos de estos artículos:

Thomas Tate, Tratado de análisis factorial, con la suma de series (1845)

Alexander Tilloch, Sobre un nuevo método para tratar los factoriales y los números figurados Revista filosófica 53 (1819), 412-418.

Yo no me preocuparía por el hecho de que mucho de esto ya se haya hecho antes. En primer lugar, es probable que muchas cosas ya no se conozcan bien. En segundo lugar, gran parte está escrito en un estilo y con una notación que resultan difíciles de seguir para un lector moderno. En tercer lugar, tu principal interés no debería ser preocuparte por si alguien ha hecho algo antes, sino adquirir destreza resolviendo las cosas por ti mismo.