Probar o refutar$\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{\cos x+\cosh x}=\frac{1512835691 \pi}{1983703776}$

Question

En esta pregunta, la Evaluación de la integral de la $\int_{-\infty}^\infty \frac {dx}{\cos x + \cosh x}$ , robjohn evalúa la integral de una buena suma con un valor aproximado. Cuando se está conectado a W|A, da una posible forma cerrada como $\dfrac{1512835691 \pi}{1983703776}$, correcto en menos de 20 dígitos decimales. Al restar las dos en W|A, da un buen resultado de $0$. (1) Podemos demostrar que es igual a la conjetura forma cerrada?

Answer 1

Este no es el valor correcto. El valor de la integral con precisión de cifras de $70$ es $$\underline{2.395878633914562092}453189586490058501300873812447750729519628041973530$ $

Y la expresión conjetural es %#% $ #%

Los dos valores no son iguales.

Answer 2

Otra expresión, por cierto, es $$ 4 \pi \sum_{j=0}^\infty \sigma_0(2j+1) (-1)^j \exp(-(j+1/2)\pi) $ $ $\sigma_0$ Dónde está la función del número de divisores . Si su número es $\pi x$, entonces la fracción continua de $x$ comienza

$$[0; 1, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 3, 1, 4, 12, 2, 4, 3, 104, 1, 2, 5, 1, 1, 21, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 17, 1, 6, 5, 2, 2, 59, 1, 8, 3, 42, 15, 5, 1, 1, 2, 3, 1, 2, 12, 2, 3, 1, 2, 8, 1, 4, 2, 2, 3, 1, 2, 5, 1, 1, 18, 1, 1, 4, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 20, 5, 10]$$

(es decir, $0 + 1/(1 + 1/(3+1/(4+1/\ldots)))$), que no da señales de terminar, no hay ninguna razón para pensar que no es racional, ni es inusualmente bien aproximada por racionales.