¿Cómo pueden ser útiles las teorías completas de las estructuras en el estudio de sus teorías ecuacionales?

Question

Aunque hay un cierto sentido en el que el álgebra universal es un subcampo de la teoría de modelos, la gente en los dos campos está interesada en cosas muy diferentes.

Sin embargo, entiendo que los algebristas universales a veces hablan de ultraproductos. Esto me sugiere que las teorías completas de primer orden de las estructuras son a veces útiles en el estudio de sus teorías ecuacionales; si no, podrían utilizar simplemente productos, ya que preservan las ecuaciones (pero no necesariamente las propiedades de primer orden). Pero no veo cómo son útiles. Ojear el último capítulo de Burris y Sankappanavar no me ayudó del todo.

¿Cómo pueden ser útiles las teorías completas de las estructuras en el estudio de sus teorías ecuacionales?

Answer 1

No soy un algebrista universal, así que desgraciadamente no tengo ninguna aplicación rápida de los ultraproductos en el álgebra universal para compartir con ustedes. Pero sí tengo una buena idea de por qué pueden ser útiles.

En lugar de pensar en el ultraproducto como una construcción que conserva frases (ya que en el caso de las ecuaciones, el producto ordinario lo hace igual de bien, como usted observa), piense que es una operación que preserva fórmulas : En un ultraproducto, se puede "tomar el límite" de una secuencia de elementos de diferentes estructuras, encontrando un elemento que satisfaga exactamente las fórmulas que se mantienen sólo en una gran parte de la secuencia.

Así, por ejemplo, digamos que tenemos una teoría ecuacional $T$ y un conjunto infinito de ecuaciones $\{s_i(x) = t_i(x)\mid i\in \omega\}$ que no se desprenden de $T$ (aquí estoy pensando en $x$ como una variable única, pero también podría ser una tupla). Y digamos que para cualquier $n\in \omega$ Puedo encontrar un modelo $A_n\models T$ y un elemento $a_n\in A_n$ tal que $s_i(a_n) = t_i(a_n)$ para todos $i\leq n$ . Entonces, para cualquier ultrafiltro no principal $U$ en $\omega$ en el ultraproducto $\prod_{n\in\omega} A_n/U$ el elemento $(a_n)_{n\in\omega}$ satisface todas las ecuaciones.

El producto no lo hace por ti, ya que un elemento $(b_n)_{n\in\omega}\in \prod_{n\in\omega} B_n$ sólo satisface una ecuación si cada coordenada $b_n$ satisface la ecuación.

Podéis observar que no hemos necesitado utilizar un ultraproducto - el producto reducido $\prod_{n\in\omega} A_n/F$ , donde $F$ es el filtro cofinito en $\omega$ lo hace igual de bien. Y, de hecho, los productos reducidos tienen mucho más interés en el álgebra universal que en la teoría de modelos. Pero puedes imaginar situaciones en las que queremos encontrar un elemento en algún modelo de $T$ que satisface una lista infinita de propiedades más complicadas (de primer orden, pero no ecuacionales), por lo que podríamos necesitar utilizar toda la potencia del ultraproducto.

Answer 2

Toda teoría ecuacional es una teoría de primer orden, por lo que, como mínimo, los algebristas universales deberían poder utilizar el ultraproducto.

Usted pregunta por qué necesitarían el ultraproducto cuando el producto conserva todas las ecuaciones. En general, se podría afirmar que los algebristas universales tienden a preocuparse por las estructuras finitas, mientras que los teóricos del modelo prefieren las estructuras infinitas (de nuevo, esto es una generalización). La construcción del ultraproducto se rompe con las estructuras finitas:

Si $\mathcal{K}$ es un conjunto finito de álgebras finitas, entonces cualquier ultraproducto de álgebras de $\mathcal{K}$ está de nuevo en $\mathcal{K}$ .

Sin embargo, un producto de álgebras de $\mathcal{K}$ puede hacerse arbitrariamente grande.

Dos buenos resultados que utilizan los ultraproductos de esta manera son un resultado de Jonsson, que afirma que una variedad congruente-distributiva finitamente generada es residualmente pequeña, y un resultado de Quackenbush, que afirma que si una variedad localmente finita tiene sólo finitamente muchas álgebras subdirectamente irreducibles, entonces no puede tener ninguna infinita subdirectamente irreducible.