Si f, g son funciones continuas, entonces fg es continua

Question

Deje $X$ ser un espacio topológico y dejar $f:X \to R$ ,$g:X \to R$ ser funciones continuas. Mostrar que $fg$ es continua.

Mi trabajo: Para mostrar $fg$ es continua en a $x$ por cada $x \in X$

Deje $y=fg(x)$

A ver si $N_y$ es un barrio de $y$, entonces la pre-imagen de $y$ es un barrio de $x$.

Sé que existe $B_\epsilon(y) \in N_y$ os quiero mostrar que $（fg）^{-1}(B_\epsilon(y)) \in N(x)$

Deje $N_x=（fg）^{-1}(B_\epsilon(y))$, quiero encontrar un conjunto abierto en $N_x$.

Puede alguien darme una pista de cómo elegir conjunto abierto o idea de cómo probar esto ?

Answer 1

Ya que la topología en ${\bf{R}}$ sigue siendo la norma euclidiana, sigue siendo una cuestión de probar esto en la clásica forma que $|f(x)g(x)-f(x_{0})g(x_{0})|\leq|f(x)-f(x_{0})||g(x)|+|f(x_{0})||g(x)-g(x_{0})|$. Ahora la fronteridad de $|g(x)|$ alrededor de $x_{0}$ está dada por la continuidad de $g$ $x_{0}$ así. Tenga en cuenta que se podía ver que $|x-x_{0}|<\delta$ es sustituido por un % de barrio $\mathcal{N}(x_{0})$, y la cuestión de la $\min\{\delta,\delta'\}$ debe reemplazarse por la intersección de dos barrios.

Answer 2

Aquí es un enfoque alternativo:

Reivindicación 1. Si $f: X\to\mathbb{R}$ $g: X\to\mathbb{R}$ son continuas, entonces $f+g: X\to\mathbb{R}$ es continua.

Prueba. Dado un punto de $x\in X$$\epsilon>0$, queremos mostrar que existe una vecindad $N_{x}$ $x$ tal que $(f+g)(N_{x})\subseteq B_{\epsilon}((f+g)(x))$. Por la continuidad de $f$$g$, usted puede encontrar un vecindarios $N'_{x}$ $N''_{x}$ tal que $f(N'_{x})\subseteq B_{\epsilon/2}(f(x))$$f(N''_{x})\subseteq B_{\epsilon/2}(g(x))$. Ahora vamos a $N_{x} := N'_{x} \cap N''_{x}$. A continuación, para cada una de las $z\in N_{x}$ hemos $$|(f+g)(z)-(f+g)(x)| = |f(z)-f(x)+g(z)-g(x)|\leq |f(z)-f(x)|+|g(z)-g(x)| < \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$ so that $(f+g)(z)\en B_{\epsilon}((f+g)(x))$. So $f+g$ es continua.

Reivindicación 2. Si $f:X\to\mathbb{R}$ es continuo, $f^2: X\to\mathbb{R}$ es continua.

Aquí $f^2$ es la función definida por $f^2(x):=(f(x))^2$.

Prueba. Dado un punto de $x\in X$, vamos a $\epsilon>0$. Supongamos $\epsilon<1$ por simplicidad (esto está bien para asumir). Por la continuidad de $f$, existe una vecindad $N_{x}$ tal que $f(N_{x})\subseteq B_{\epsilon}(f(x))$. Tenga en cuenta que para cada $z\in N_{x}$, $$|f(z)+f(x)|=|f(z)-f(x)+2 f(x)| \leq |f(z)-f(x)|+2|f(x)| \leq \epsilon+2|f(x)| < 1+2|f(x)| = C $$ donde $C$ se define como la constante $1+2|f(x)|$. Tenga en cuenta que $C$ es independiente de $z$, y sólo depende de $x$. A continuación, para cada $z\in N_{x}$, tenemos
$$|f^2(z)-f^2(x)| = |f(z)-f(x)|\cdot |f(z)+f(x)| \leq \epsilon\cdot C$$ Por lo tanto, $f^2(N_{x})\subseteq B_{\epsilon}(f^2(x))$ $f^2$ es continua.

Reivindicación 3. Si $f:X\to\mathbb{R}$ $g:X\to\mathbb{R}$ son continuas, entonces $f\cdot g: X\to\mathbb{R}$ es continua.

Prueba. Observe que $$ f\cdot g = \frac{1}{2}\left[(f+g)^2 -f^2-g^2\right] $$ Ahora aplicar reclamación $1$ al ve $f+g$ es continua. Así que por la Reivindicación 2, las tres funciones $f^2$, $g^2$ y $(f+g)^2$ son continuas. Por Reclamación $1$, $f\cdot g$ es continua (porque se trata de una suma/diferencia de estas funciones).

Answer 3

En primer lugar, definir la función $h:X \to \mathbb{R}^2$ $h(x)=(f(x),g(x))$; desde $f$ y $g$ son continuas entonces $h$ es continua.

Ahora, la función de multiplicación $\cdot:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $(a,b) \mapsto a \cdot b$ es continua. Finalmente, puesto que $(fg)(x):=(\cdot \circ h):X \to \mathbb{R}$ y la composición de funciones continuas es continua, entonces $fg$ es continua.