¿Qué es la intuición detrás de por qué difiere la integración de $f(x) = x$ de intervalo cerrado de negativo al infinito positivo, en lugar de ser cero?

Question

Actualmente, estoy estudiando en el cálculo de las integrales. En la enseñanza de las integrales impropias sobre infinito de intervalos, que me llegan a través de este ejemplo en mis notas de la conferencia,

$$\int_{-\infty}^{\infty} x \ dx$$

Naturalmente, la integración se divide en dos mitades, como$\int_{-\infty}^{0}x\ dx=-\infty$$\int_{0}^{\infty}x\ dx=\infty$. Las notas de la conferencia a la conclusión de que, puesto que tanto estas impropias integrales divergentes, entonces también lo hace el de arriba incorrecto integral, es decir,

$$\Rightarrow\int_{-\infty}^{\infty}x\ dx\ \mathrm{diverges}$$

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Intuitivamente, sin embargo, yo esperaría que el primer incorrecto integral, $\int_{-\infty}^{\infty}x\ dx$ debe evaluar a $0$, dado que,

1. Un significado intuitivo de la integral definida es el área bajo la curva
2. La curva de $y=x$ da un área negativo para $(-\infty,0)$ positivo y área para $(0, \infty)$
3. La curva de $y=x$ es simétrica con respecto a $y=0$

Así que, mis preguntas son

1. Por qué no es éste el caso, y
2. Es $\int_{-\infty}^{\infty}x\ dx\ \mathrm{diverges}$ incluso lo que creo que significa, que $\int_{-\infty}^{\infty}x\ dx=\infty$?

Answer 1

Esto es debido a que una elección se hizo en la definición de las integrales impropias, es decir, decimos que la integral impropia $$ \int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm dx $$ existe el siguiente límite $$ \lim_{m\to \infty}\int_ {m}^0f(x)\mathrm dx+\lim_{M\to \infty}\int_0^{M}f(x)\mathrm dx $$ existe.

Tenga en cuenta que aquí tenemos dos diferentes variables de límite, lo que significa que $m$ $M$ se puede ir hasta el infinito a diferentes velocidades, que pueden fallar a la perfección cancelar cada uno de los otros para cada finito $m,M$ en el caso de la integración de una función impar como la suya.

La definición que proponemos como intuitiva es también una de las más útiles, y es llamado el valor Principal de Cauchy de la integral. En esta integral, las dos variables de límite son los mismos.

Answer 2

Por el mismo argumento, tendríamos $$(\forall a\in\mathbb{R}):\int_{-\infty}^{+\infty}x+a\,\mathrm dx=0.$$But then$% $$0=\int_{-\infty}^{+\infty}x+a\,\mathrm dx=\int_{-\infty}^{+\infty}x\,\mathrm dx+\int_{-\infty}^{+\infty}a\,\mathrm dx=\int_{-\infty}^{+\infty}a\,\mathrm dx.$supongo que ver que hay un problema aquí.

Y, que yo sepa, nadie dice que $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}x\,\mathrm dx=\infty$. La gente solo dice que la integral diverge.

Answer 3

El problema es que dependiendo de cómo tratamos de calcular la integral, se pueden obtener diferentes respuestas. Sabemos cómo calcular la integral en cualquier intervalo finito, por lo que podría tratar de usar más y más grandes intervalos y la integración de cada uno de ellos para tener una idea de lo que la integral sobre todos los de $\mathbb R$ podría ser. Si hacemos esto en lo obvio, simétrica manera, tenemos cero:

$$\forall t, \int_{-t}^t x\ dx = 0$$

Y por lo tanto el límite como $t\to\infty$ es de nuevo de cero. Pero lo que si que fue diferente? Lo que si he utilizado los intervalos de $[-bt, at]$ donde $a$ es diferente a $b$, esencialmente por el crecimiento de mi intervalo a la derecha a una velocidad diferente de cómo crece a la izquierda?

$$\int_{-bt}^{at} x\ dx = \frac 1 2t^2(a^2-b^2)$$

De modo que podemos obtener cualquiera de las $+\infty$ o $-\infty$ dependiendo del lado en el que crece más rápido. Si nos dejamos crecer los lados izquierdo y derecho de acuerdo a la creciente funciones positivas $f$$g$:

$$\int_{-g(t)}^{f(t)} x\ dx = \frac 1 2 (f(t)^2 - g(t)^2)$$

Así que por la búsqueda de funciones con $f(t)^2-g(t)^2=c$, podría hacer que el límite en cualquier número constante que te gusta, haciendo parecer como si el área bajo la curva es lo que usted quiere que sea, por lo que su intuición de que el área debe ser igual a cero se basa esencialmente en la estética, no matemático, el hecho de que usted sucede algo muy similar a la simetría.

Algo similar sucede en el contexto más simple de infinitas sumas de dinero. Si me pregunta si desea agregar un conjunto infinito de números, como los $\{a_1, a_2, a_3, ...\}$, usted debe queréis preguntarme en qué "orden" debe agregar para arriba. Observe que la única razón por la que no se siente la necesidad de hacerlo con un conjunto finito sólo es debido a la adición es conmutativa, es de imaginar cómo confundido sería si yo le preguntara a usted para "dividir los números de $1, 2, 4$$7$". Así que si yo le preguntara a usted para añadir $\{...a_{-2}, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, a_3...\}$, ¿eso qué significa? Haces todos los positivos índices de primera, a continuación, todos los negativos? Hacer saltar hacia atrás y adelante como $a_0 + a_1 + a_{-1} + a_2 + a_{-2}+ ...$? De nuevo, sin que las condiciones en el $a_i$, estas diferentes "órdenes" de la recapitulación, puede producir diferentes respuestas.

Answer 4

El integral se define de esa manera evitar situaciones malas (Ver respuesta anterior).

Su idea intuitiva está bien definido en otro concepto matemático: valor principal de Cauchy