Independencia se conserva bajo tomar límites casi seguros

Question

I´m no seguro por qué este teorema es correcto, ¿cómo puedo demostrarlo?

Que $X_1,X_2.... $ $Y_1,Y_2...$ ser variables aleatorias tales son independientes cada $X_n,Y_n$ y tal que X, resp Y, son los límites casi seguros de % que $n∈\mathbb N$ $(X_n)$y $(Y_n)$. Entonces también X e Y son independientes.

Gracias por el Consejo

Answer 1

Para cada continuo delimitado las funciones de $u$ y $v$, $u(X_n)\to u(X)$, $v(Y_n)\to v(Y)$ y $u(X_n)v(Y_n)\to u(X)v(Y)$ casi seguramente. Todas estas variables aleatorias son uniformemente acotadas por lo tanto $$ \mathbb E(u(X_n))\to\mathbb E(u(X)),\quad \mathbb E(v(Y_n))\to\mathbb E(v(Y)), $$ y $$ \mathbb E(u(X_n)v(Y_n))\to\mathbb E(u(X)v(Y)). $$ Por la independencia de $X_n$$Y_n$, para cada uno de los $n$, $\mathbb E(u(X_n)v(Y_n))=\mathbb E(u(X_n))\mathbb E(v(Y_n))$. Por la identificación de los límites, $$ \mathbb E(u(X)v(Y))=\mathbb E(u(X))\mathbb E(v(Y)). $$ Esto es válido para cada continuo delimitado las funciones de $u$$v$, por lo tanto la distribución de $(X,Y)$ es el producto de sus distribuciones, QED.

Answer 2

Tenga cuidado con esta respuesta: es muy posible que me equivocaba algo Sí, yo lo hice! Ver comentarios. Aquí va: queremos $$\mathbb{P}(X \leqslant a, Y \leqslant b) = \mathbb{P}(X \leqslant a)\mathbb{P}(Y \leqslant a)$$

Supongamos en primer lugar tenemos las secuencias de números reales $a_j \rightarrow a, b_j \rightarrow b$. Entonces yo la primera reclamación que $$a \leqslant A, b \leqslant B \Longleftrightarrow \forall n, \exists i | \forall j > i: a_j \leqslant A + \frac{1}{n}, b_j \leqslant B + \frac{1}{n}$$

La aplicación de este criterio a $X_i(\omega) \rightarrow X(\omega), Y_i(\omega) \rightarrow Y(\omega)$ por cada $\omega$ (tirar un conjunto de medida 0), obtenemos $$\{ X \leqslant a, Y \leqslant b \} = \bigcap_n \bigcup_{i \geqslant 0} \bigcap_{j \geqslant i} \{ X_j \leqslant a + \frac{1}{n}, Y_j \leqslant b + \frac{1}{n} \}$$

Al evaluar la probabilidad de esto, podemos arrastrar el $\mathbb{P}$ a través de cada una de las $\cap$ $\cup$ desde los eventos relevantes (todo a la derecha de dicha operación) son anidados, por lo tanto tenemos $$\mathbb{P}(X \leqslant a, Y \leqslant b) = \lim_n \lim_i \lim_{j \geqslant i} \mathbb{P}(X_j \leqslant a + \frac{1}{n}, Y_j \leqslant b + \frac{1}{n})$$By independence of $X_j$ and $Y_j$, we can rewrite this as $$\lim_n \lim_i \lim_{j \geqslant i} \mathbb{P}(X_j \leqslant a + \frac{1}{n})\mathbb{P}(Y_j \leqslant b + \frac{1}{n}) $$$$= (\lim_n \lim_i \lim_{j \geqslant i} \mathbb{P}(X_j \leqslant un + \frac{1}{n}))(\lim_n \lim_i \lim_{j \geqslant i} \mathbb{P}(Y_j \leqslant b + \frac{1}{n})) = \mathbb{P}(X \leqslant a)\mathbb{P}(S \leqslant b) $$