$xy=1 \implies$ mínimo $x+y=$ ?

Question

Si $x,y$ son números reales positivos tales que $xy=1$ ¿Cómo puedo encontrar el mínimo para $x+y$ ?

Answer 1

Media aritmética $\ge$ Media geométrica

$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$

$\implies x + y \ge 2$

$\implies$ Valor mínimo = $2$

Answer 2

$x+y=x+y-2\sqrt{xy}+2\sqrt{xy}=(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2+2\ge2$

El valor se alcanzará cuando $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2=0\Rightarrow \sqrt{x}=\sqrt{y}\Rightarrow x=y=1$

Tenga en cuenta que esta es la base de la desigualdad de A.M. $\ge$ G.M.

Si $x,y\ge 0$ entonces sabemos que $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\ge0$

$\Rightarrow x+y-2\sqrt{xy}\ge 0$

$\Rightarrow x+y\ge 2\sqrt{xy}$

Answer 3

Con $x\cdot y=1$ sabes que $x=\frac{1}{y}$ así que $$x+y=x+\frac{1}{x}$$ Wlog puede decir ahora $x\geq 1$ , trata de encontrar el mínimo ahora.

Otra forma es que para x>0 sabemos que $$\frac{(x-1)^2 }{x}\geq 0$$ por otro lado $$\frac{(x-1)^2}{x} = \frac{x^2}{x} - \frac{2x}{x} +\frac{1}{x} =x-2 +\frac{1}{x} \geq 0$$ Esto equivale a $$x+\frac{1}{x}\geq 2$$ y como $1+1=2$ sabemos que 2 es el mínimo.

Supongo que recibiré algunos votos negativos por lo siguiente, pero quizá te dé alguna esperanza. Si no te gusta añadir un cero inteligente (que es poco intuitivo), todavía puedes utilizar métodos de cálculo avanzados. Intentas minimizar la función $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}; \ (x,y)\mapsto x+y$ con la condición lateral $x\cdot y = 1$ .

Ahora se utiliza un multiplicador lagrangiano y se minimiza la función $$g(x,y)=x+y+\lambda (xy-1)$$ Ahora se toman las derivadas parciales, que deben ser cero para un mínimo $$\begin{align*} \frac{\partial g}{\partial x} &= 1+ \lambda y\\ \frac{\partial g}{\partial y} &= 1+ \lambda x\\ \frac{\partial g}{\partial \lambda} &= xy-1 \end{align*}$$ Ahora sólo hay que resolver el sistema $$\begin{align*} 0&=1+\lambda y\\ 0&= 1+\lambda x \\ 0&=xy - 1 \end{align*}$$

Como mencionó Winston, se puede tomar la derivada de $\displaystyle x+\frac{1}{x}$ que es $$1-\frac{1}{x^2}$$ Así que hay que resolver la ecuación $$1-\frac{1}{x^2}=0 \iff 1=\frac{1}{x^2} \iff x^2=1$$

Answer 4

La respuesta anterior lo hace totalmente.

Sin embargo, se puede visualizar este problema gráficamente. Imagina los tres ejes $x,y,z$ y la parte del primer cuadrante de la curva $xy=1$ dibujado en el $xy$ plano. La función $f(x,y)=x+y$ se traza en el $z$ -eje. La gráfica de esta función se parece a un plano que está inclinado un 45% hacia el $xy$ -plano y lo corta en la línea $135^\circ$ a la $x$ -eje. El mínimo de esta función con la restricción se produce donde la curva $xy=1$ se acerca más al origen. Puedes ver esto imaginando el $z=x+y$ plano que se traslada paralelamente hacia arriba y hacia abajo.

Entonces está claro que como una línea de pendiente $135^\circ$ es tangente a la curva $xy=1$ Este punto de incidencia le dará el mínimo de $f$ .

Este punto de incidencia es $x=1,y=1$ . y por lo tanto el mínimo es $2$ . Y esta imagen también deja claro que se alcanza el mínimo.

Answer 5

Tenga en cuenta que $y=1/x$ y $$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=\left( x-\frac{1}{x}\right)^2+4\cdot x\cdot \frac{1}{x}\geq4$$ Por lo tanto, $x+y\geq 2$ . También para $x=y=1$ , usted tiene $x+y=2$ Por lo tanto $2$ efectivamente el valor mínimo.