Números de campana: Cómo poner el FEAG $e^{e^x-1}$ en una serie?

Question

Estoy trabajando en funciones generadoras exponenciales, especialmente en la EGF para los números de Bell $B_n$ .

He encontrado en Internet el FEAG $f(x)=e^{e^x-1}$ para los números de Bell. Ahora traté de usar este EGF para calcular $B_3$ (deberían ser 15). Sé que tengo que poner el FEAG en una serie y echar un vistazo a los coeficientes. Utilizando $e^{f(x)}=1+f(x)+\frac{f(x)^2}{2!}+\frac{f(x)^3}{3!}+\ldots$ Me sale

\begin{eqnarray*} e^{e^x-1}&=&1+(e^x-1)+\frac{(e^x-1)^2}{2!}+\frac{(e^x-1)^3}{3!}\\ &=&1+e^x-1+\frac{e^{x^2}-2e^x+1}{2!}+\frac{e^{x^3}-3e^{x^2}+3e^x-1}{3!}\\ &=&e^x+\frac{e^{x^2}}{2!}-e^x+\frac{1}{2!}+\frac{e^{x^3}}{3!}-\frac{e^{x^2}}{2!}+\frac{e^{x}}{2!}-\frac{1}{3!}\\ &=&\frac{e^{x}}{2!}+\frac{e^{x^3}}{3!}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}\\ &=&\frac{1}{2!}e^x+\frac{1}{3!}e^{x^3}-\frac{1}{3}\\ &=&\frac{1}{2!}\left( 1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^8}{3!} \right)+\frac{1}{3!}\left( 1+x^3+\frac{x^6}{2!}+\frac{x^9}{3!}\right)\\ &=&\frac{1}{2}+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^8}{24}+\frac{1}{6}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^6}{12}+\frac{x^9}{36}\\ &=&\frac{1}{2}+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\ldots \end{eqnarray*}

Creo que puedo parar aquí, porque el coeficiente frente a $\frac{x^3}{3!}$ no es $15$ .

¿Quizás alguien pueda ayudarme y dar una pista para encontrar mi error?

Answer 1

\begin{align} e^{e^x-1}&= 1+(e^x-1)+\frac{(e^x-1)^2}{2!}+\frac{(e^x-1)^3}{3!}+\cdots+\frac{(e^x-1)^n}{n!}+ \cdots \\[8pt] &= \cdots\cdots+\frac{e^{nx}+xe^{(n-1)x}+\binom n2 e^{(n-2)x}+\cdots+ne^x + 1}{n!}+ \cdots\cdots \end{align} Uno de los términos de la ampliación de $(e^x-1)^n$ es $e^x$ . Cuando se amplíe, uno de los términos será $x^4/4!$ . No importa lo grande que sea $n$ es que no se agotan los términos que implican $x^4$ . Así que no sólo se obtienen términos finitos que implican $x^4$ y sumar sus coeficientes para ver si se obtiene $\dfrac{15x^4}{4!}$ . Más bien, se obtiene una serie infinita.

El artículo de Wikipedia titulado Fórmula exponencial da una expansión en serie de potencias de $$e^{f(x)}= \cdots+\frac{b_n x^n}{n!}+\cdots$$ cuando la expansión en serie de la potencia de $$f(x) = a_1+\frac{a_2 x^2}{2!}+\cdots+\frac{a_n x^n}{n!}+\cdots $$ es conocido. Fíjate en esto del artículo: $$ b_3 = a_3+3a_2 a_1 + a_1^3 $$ porque hay una partición del conjunto $\{ 1, 2, 3 \}$ que tiene un solo bloque de tamaño $3$ hay tres particiones de $\{ 1, 2, 3 \}$ que lo divide en un bloque de tamaño $2$ y un bloque de tamaño $1$ y hay una partición de $\{ 1, 2, 3 \}$ que lo divide en tres bloques de tamaño $1$ . Aplique eso a $4$ : $$ b_4 = a_4 + 4a_3a_1 + 3a_2^2+6a_2a_1^2 + a_1^4 $$ ya que hay una partición del conjunto $\{1,2,3,4\}$ que tiene un solo bloque de tamaño 4; hay cuatro particiones en un bloque de tamaño $3$ y un bloque de tamaño $1$ tres son tres particiones en dos bloques de tamaño $2$ ; hay seis particiones en un bloque de tamaño $2$ y dos bloques de tamaño $1$ y hay una partición en cuatro bloques de tamaño $1$ .

El artículo de Wikipedia titulado La fórmula de Dobinski trata la expansión de cada número de Bell individual como una serie infinita.

También hay La fórmula de Faà di Bruno una las derivadas de las funciones compuestas.

Answer 2

Probablemente lo más fácil sea expandir primero el exponencial en el exponente, ya que eso llevará a un número finito de términos a evaluar:

$$\begin{align}e^{(e^x-1)} &= \exp\left(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+O(x^4)\right)\\ &=1+\left(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+O(x^4)\right) +\frac{1}{2}\left(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+O(x^4)\right)^2 +\frac{1}{6}\left(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+O(x^4)\right)^3+O(x^4)\\ &=1+\left(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+O(x^4)\right)+\frac{1}{2}\left(x^2+2(x)\left(\frac{x^2}{2}\right)+O(x^4)\right)+\frac{1}{6}\left(x^3+O(x^4)\right)\\ &=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{2}+\frac{x^3}{6}+O(x^4)\\ &=1+x+x^2+\frac{5x^3}{6}+O(x^4) \end{align}$$ A partir de la cual se pueden leer los coeficientes directamente.

Answer 3

\begin{eqnarray*} e^{e^x-1}&=&1+(e^x-1)+\frac{(e^x-1)^2}{2!}+\frac{(e^x-1)^3}{3!}\\ &=&1+e^x-1+\frac{e^{2x}-2e^x+1}{2!}+\frac{e^{3x}-3e^{2x}+3e^x-1}{3!}\\ &=&e^x+\frac{e^{2x}}{2!}-e^x+\frac{1}{2!}+\frac{e^{3x}}{3!}-\frac{e^{2x}}{2!}+\frac{e^{x}}{2!}-\frac{1}{3!}\\ &=&\frac{e^{x}}{2!}+\frac{e^{3x}}{3!}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}\\ &=&\frac{1}{2!}e^x+\frac{1}{3!}e^{3x}-\frac{1}{3}\\ &=&\frac{1}{2!}\left( 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!} \right)+\frac{1}{3!}\left( 1+3x+\frac{9x^2}{2!}+\frac{27x^3}{3!}\right)-\frac{1}{3}\\ &=&\frac{1}{2}+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{24}+\frac{1}{6}+x+\frac{3x^2}{4}+\frac{9x^3}{12}-\frac{1}{3}\\ &=&\frac{2}{3}+\frac{3x}{2}+\frac{5x^2}{4}+\frac{9x^3}{12}+\ldots \end{eqnarray*}

Answer 4

Probablemente no quieras usar la expansión en serie para la exponencial como has hecho, porque recibirás contribuciones a cada coeficiente de todos los órdenes de esta expansión, por lo que te quedarán infinitas sumas por evaluar. En su lugar, deberías utilizar el hecho de que el término $n$ en una secuencia viene dada por $F^{(n)}(0)$ , donde $F(x)$ es la función generadora exponencial de la secuencia (y $F^{(n)}$ es el $n$ -derivada de $F$ ). Si $F(x)=e^{f(x)}$ entonces sus derivadas vienen dadas por $$ F(0)=e^{f(0)} \\ F'(0)=f'(0)e^{f(0)} \\ F''(0)=(f''(0)+f'(0)^2)e^{f(0)} \\ F'''(0)=(f'''(0)+3f''(0)^2 f'(0) + f'(0)^3)e^{f(0)} \\ F^{(4)}(0)=(f^{(4)}(0)+f'''(0)f'(0)+6f'''(0)f''(0)f'(0)+3f''(0)^2+3f''(0)f'(0)^2+f'(0)^4)e^{f(0)} $$ y así sucesivamente. Si $f(x)=e^x-1$ entonces $e^{f(0)}=1$ y $f^{(n)}(0)=1$ para cualquier $n \ge 1$ . Sumando los términos, entonces, se tiene $B_0=B_1=1$ , $B_2=2$ , $B_3=5$ , $B_4=15$ y así sucesivamente.