Prueba $\int^{\infty}_0 \cos(tx)\left (\frac{\sin(t)}{t} \right )^n \, dt = 0$

Question

Me han pedido que demuestre que

$$ \int^\infty_0 \cos(tx)\left (\frac{\sin(t)}{t} \right )^n \, dt = 0, \space \forall x > n \geq 2.$$

Mi enfoque hasta ahora ha sido utilizar un teorema demostrado en clase que, para una variable aleatoria $X$ con la función característica $\phi(t)$ y $a,b\in\mathbb{R}$ ,

$$ \mathbb{P}(a<X<b) + \frac{\mathbb{P}(X=a) + \mathbb{P}(X=b)}{2} = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2\pi}\int^{T}_{-T}\frac{e^{-ita}+e^{-itb}}{it}\phi(t)\,dt.$$

Por lo tanto, la elección de $a = -b$ Me sale

$$\mathbb{P}(|X| \leq b) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{\pi}\int^{T}_{-T}\frac{\sin(t)}{t}\phi(t)\,dt$$

lo que hace pensar que tengo que encontrar una variable aleatoria que satisfaga $\phi(t)$ y $\mathbb{P}(|X|<b)=0$ ... pero estoy perdiendo la confianza en este enfoque, ya que no explica por qué $x > n \geq 2$ es necesario o incorporar el comportamiento de $\left(\frac{\sin t}{t}\right)^n$ .

Sería preferible una solución con técnicas de probabilidad a un análisis puro, pero se agradece toda ayuda.

Answer 1

Sugerencia Dejemos que $X_1,\ldots,X_n$ sean variables aleatorias independientes tales que $X_j$ se distribuye uniformemente en $[-1,1]$ para $j=1,\ldots,n$ . No es difícil demostrar que la transformada de Fourier de $X_j$ es igual a

$$\Phi_{X_j}(t) := \mathbb{E}e^{\imath \, t \cdot X_j} = \frac{\sin t}{t}.$$

Por lo tanto, la transformada de Fourier de $Y := X_1+\ldots+X_n$ viene dada por

$$\Phi_Y(t) = \left( \frac{\sin t}{t} \right)^n.$$

Tenga en cuenta que

$$\begin{align*} \int_0^{\infty} \cos(t x) \cdot \left( \frac{\sin t}{t} \right)^n \, dt &= \text{Re} \left( \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\imath \, t \cdot x} \cdot \Phi_Y(t) \, dt \right). \end{align*}$$

Ahora utiliza que el lado derecho es básicamente la (parte real de la) transformada inversa de Fourier para demostrar la afirmación.