¿Pecado y lechuga romana sólo continua, infinitamente diferenciables funciones periódicas tenemos?

Question

Pecado y lechuga romana están en todas partes continua e infinitamente diferenciables. Son propiedades agradables tener. Vienen desde el círculo unitario.

Parece que no hay ninguna otra función periódica que también es liso y continuo. El sólo otros incluso funciones periódicas (no lisas o continuas) que he visto son:

• Onda cuadrada
• Onda del triángulo
• Onda diente de Sierra

¿Hay cualquier otra función periódica conocida?

Answer 1

"¿Hay algún otro conocido funciones periódicas?"

En un sentido, la respuesta es "no". Cada razonable periódica de valores complejos de la función $f$ de una variable real se puede representar como una infinita combinación lineal de senos y cosenos con períodos iguales al período de $\tau$$f$, o igual a $\tau/2$ o a $\tau/3$, etc. Ver series de Fourier.

También hay doblemente periódica de funciones de una variable compleja, llamada elíptica funciones. Si se restringe uno de estos para el eje real, uno puede encontrar una serie de Fourier, pero uno no hace esas restricciones, por lo que yo sé, en el estudio de estas funciones. Ver Weierstrass de la elíptica funciones y Jacobi funciones elípticas.

Answer 2

Hay algunos irracionales que son periódicas.

$$f(x) =\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^{n}e^{-(x-n)^2}$$

es periódica con periodo 2. Coseno se parece pero no es.

Answer 3

Se trata de una extensión de la respuesta de David Mitra.

Elegir cualquier función que es lisa en un intervalo abierto que contiene $[0,1]$.

Definir $g: [0,1] \rightarrow R$ $g(x)=x^2(1-x)^2f(x)$. Entonces $g(0)=g'(0)=g(1)=g'(1)=0$.

Ahora puede probar que $h: R \rightarrow R$ definida por

$$h(x) = g( \{ x \}) \,,$$

donde $\{ x \}$ representa la parte decimal de $x$ es suave periódica con período 1...

Answer 4

Claro que no.

Por ejemplo, $\sin_{[n]}(x)$ como se muestra en http://en.wikipedia.org/wiki/Functional_square_root es en realidad una suave función periódica de período $2\pi$ $\forall n\in\mathbb{R}^+$.