Entender los teoremas de Sylow dicen sobre $p$-grupos

Question

Tengo una pregunta sencilla.

Si consideramos un grupo $G$ $p^k$ % primer $p$de orden. Por ejemplo $125=5^3$.

¿Qué podemos obtener de sylows Teorema? (Ya entendí lo de los otros casos, donde tenemos algo así como $p^km$).

Gracias.

Answer 1

El clásico de las declaraciones de los teoremas de Sylow realmente no dicen nada acerca de un grupo de $G$$|G|=p^k$.

El primer teorema de Sylow dice que $G$ contiene un subgrupo de orden $|G|$, lo que está claro, de todos modos.

Desde $G$ es la única $p$-subgrupo de Sylow, segundo teorema simplemente le dice que $G$ es conjugado a sí mismo como un subgrupo, que es clara (considerar la conjugación por $e$).

Desde allí es sólo $1$ Sylow $p$-subgrupo y $1 \equiv 1(\mod p)$, el último teorema es igual de ineficiente.

A veces, un fuerte resultado es demostrado en lugar de el primer teorema de Sylow: dado cualquier grupo finito $G$ y cualquier prime $p$ si $p^m$ divide $|G|$ $G$ contiene un subgrupo de orden $p^m$. Esto hace decir algo acerca de las $p$-grupos: contienen subgrupos de cada fin permitido por la del teorema de Lagrange.

Answer 2

Creo que Morgan ha contestado a su pregunta completamente. Así que a pesar de los Teoremas de Sylow no dar nueva información sobre $p$-grupos, hay un lema en la prueba de los Teoremas de Sylow que usted puede encontrar interesantes:

Una manera de demostrar los Teoremas de Sylow (al menos el primer teorema de Sylow) es utilizar el hecho de que $[G:H]\equiv [N_{G}(H):H] \textrm{ (mod } p)$ siempre $H$ $p$- subgrupo de $G$. Para probar este lema, considere la posibilidad de la canónica de acción de $H$ en el conjunto de la izquierda-cosets $G/H$, y mirar los puntos fijos.

Al $G=p^{m}$ sí $p$-grupo, se puede aplicar este lema a la conclusión de que la $G$ tiene una normal subgrupo de orden $p^{m-1}$. La congruencia $[G:H]\equiv [N_{G}(H):H] \textrm{ (mod } p)$ en general demuestra que normalizador de una adecuada subgrupo $H$ $p$- grupo es estrictamente mayor que $H$. Por lo tanto, $p$-los grupos son nilpotent.