Extendiendo cualquier modelo de ZFC a uno donde CH / no tienen

Question

Aquí he leído que:

Tratando de entender por qué esto es cierto yo he estudiado Kenneth Kunen de la "Teoría de conjuntos: Una Introducción a la Independencia de las Pruebas" (1ª ed.), pero todavía estoy confundido.

Me parcialmente entender (2): Una contables modelo transitivo de ZFC siempre se puede ampliar a un modelo donde CH es por la adición de bijections entre el $\aleph_0$ y cardenales en la entre $\aleph_0$ y la cardinalidad de a $2^{\aleph_0}$. Pero eso es sólo porque todo en una contables transitiva modelo contable cuando "visto desde el exterior". ¿Cómo funciona para cualquier modelo? Prácticamente todos de Kunen del teoremas son acerca de los modelos contables.

No entiendo (1) a todos. Si no hay cardenales se derrumbaron, a continuación,$\aleph_1^V=\aleph_1^{V[G]}$, y si no hay nuevos reales se añaden, a continuación,$(2^{\aleph_0})^V=(2^{\aleph_0})^{V[G]}$, y el bijection entre los dos en $V$$V[G]$, por lo que CH debe todavía se mantienen. Lo estoy entendiendo mal? (Puedo ver cómo se puede extender cualquier contables transitiva modelo a uno donde CH falla mediante la adición de reales porque siempre debe haber algunos que ya no están incluidos. Pero la diapositiva dice que puede hacerlo sin la adición de reales y que se puede hacer con cualquier modelo).

Answer 1

Re: (2), podemos hacer sentido de obligar a extensiones más arbitrario modelos de pensamiento sobre Boolean valores de los modelos; este tratamiento se encuentra en Jech. Alternativamente, si queremos hablar de modelos en el sentido usual de la palabra, a continuación, se debe restringir la atención a los modelos contables (al menos sin mayor conjunto de la teoría de la hipótesis - e.g, si asumimos MA+$\neg$CH en el "rodea el universo," modelos de tamaño $\omega_1$ son tan maleable como contables de los modelos.)

Por cierto, vale la pena señalar que la restricción para transitiva modelos es innecesaria: mientras que obliga a que es más fácil de desarrollar modelos transitivos, podemos forzar más mal fundada modelos igual de bien.

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Re (1): Sí, la presentación es incorrecta, y eso es un gran error que hace la diapositiva bastante engañosa.

Tal vez el autor estaba tratando de escribir contraste descripciones:

• Para obtener $\neg$CH, el colapso no se cardenales, además de añadir un poco de reales.

• Para obtener CH, el colapso de algunos cardenales, pero que no reales.

La descripción al final, entonces, debe ser: incluso etapas satisfacer CH, impar etapas satisfacer $\neg$CH., y la etapa $2n+1$ $2n+2$ tienen la misma reales. Pero la forma en que el final está escrito hace sonar como todas las etapas tienen la misma reales.

Answer 2

Es cierto, no todos los modelos pueden ser extendidos en el "sentido normal de la palabra" a un modelo de $\sf CH$ o un modelo de $\lnot\sf CH$. Si su modelo tiene algo de $V_\kappa$ por un inaccesibles $\kappa$, luego de que contiene todos los reales, conjuntos de reales, y así sucesivamente.

Cualquier obligando a la que cambia el valor de verdad de $\sf CH$ agrega reales o conjuntos de reales, por lo $V_\kappa$, no puede extenderse a un modelo más grande, donde $\sf CH$ cambiado su valor de verdad.

Uno puede utilizar Boolean valores de los modelos (o una similar, y tal vez el enfoque más directo usando $\Bbb P$-de los nombres), pero estos serían generar mal fundada modelos con sólo una incrustación de su modelo original en la "extensión genérica". Así que este no es el sentido en que usted quiere que su modelo de ser ampliado.

Sin embargo, en la teoría de conjuntos, especialmente cuando se defiendan la multiversial vista, se puede trabajar con el supuesto implícito de que incluso el universo está contables en algunas grandes meta-universo. Así que uno puede forzar más el universo para agregar la necesaria genéricos, tal vez mediante la adición de nuevos reales para el universo.

Otra forma de resolver este problema es recordar que cualquier cosa que usted está tratando de hacer, bien podría ser hecho a través de un modelo contable (simplemente tomar una contables primaria submodel de todo lo que quería a la fuerza). Esto tiene el mismo efecto que el otro enfoque, ya que implica que siempre estás hablando de modelos contables, de una manera o de otra.

(Estoy de acuerdo, sin embargo, que este conocimiento no se expresa explícitamente suficiente en un montón de lugares, y puede ser confuso para los principiantes. En mi primer artículo, sin embargo, me hizo hablar de modelos contables, etc. etc. y hoy en día se siente para mí como una manera muy cruda de hablando de forzar, y que no puede ser más limpio y más sencillo "just do it". Entonces uno tiene que acostumbrarse a él, y luego moverse a lo largo.)

Answer 3

En cuanto a la pregunta sobre contables transitiva modelos de vs se extiende $V$: mi conjetura sería que el autor de las diapositivas es el uso de una formulación alternativa de forzar. Recordar que, incluso en el caso de los contables modelos transitivos $M$, y obligando a fin de $\mathbb{P} \in M$, es esencial en forzar los argumentos a utilizar el hecho de que el forzamiento de la relación es definible dentro de $M$. Así, algunos autores se llevará a esta definición, y ver como se aplica directamente en el universo original de $V$ $ZFC$ y un arbitrario de orden parcial $\mathbb{P} \in V$. A continuación, para cada fórmula $\phi$ si $ZFC \vdash \phi$,$ZFC \vdash (\Vdash \phi)$. Por lo tanto, si $ZFC \vdash (\Vdash \psi)$ también, a continuación,$Con(ZFC) \Rightarrow Con(ZFC + \psi)$.

De manera informal, esto es cercano a la definición de un conservador de extensión de la $V[G]$$V$. Sin embargo, hasta donde yo sé, no es posible definir un modelo de $ZFC + \psi$ de esta manera: por ejemplo, para general $p \in \mathbb{P}$, no es cierto que cualquiera de las $\Vdash \hat p \in \dot G$ o $\Vdash \hat p \notin \dot G$, aunque por supuesto $ZFC \vdash (\Vdash (\hat p \in \dot G \vee \hat p \notin \dot G))$. Por otro lado, para cualquier número finito de instrucciones, sería posible encontrar $p \in \mathbb{P}$ tal que $p$ fuerzas de cada declaración o de su negación, de manera que en situaciones donde se puede aplicar la lógica de compacidad, usted podría ser capaz de formalizar un argumento de esa manera (posiblemente de refinación $p$ a decidir intermedio declaraciones en una prueba así).

Usted podría también ser capaz de demostrar la consistencia de $ZFC$ con la lengua extendida por la clase adecuada $V$, y establece $\mathbb{P}$, $G$, adicional a los axiomas $V$ transitiva; $V \models ZFC$; $\mathbb{P} \in V$; $G \subseteq \mathbb{P}$; y $G \notin V$. Además, si $\mathbb{P}$ es definible sin parámetros en $V$, se puede añadir un axioma que $\mathbb{P}$ debe ser exactamente el elemento de $V$ definido en esta misma forma. (No recuerdo con certeza si la interpretación de la función de $\cdot^G$ es definible como una clase adecuada en $M[G]$ para los contables transitiva modelo de caso; pero si es así, usted probablemente podría también agregar un símbolo para eso, y un axioma que se cumple la definición recursiva de la interpretación de la función, y un axioma que es surjective.)