He tropezado con un ejercicio que dice así:
$$\int\limits_{-\infty}^0\frac{x^x}{x^3-1}\mathrm{d}x=\frac{2\sqrt3}{9}\pi,$$
y supongo que está pidiendo a demostrar el por encima de la igualdad. Calcular una primitiva (integral indefinida, antiderivada) de la función que se parece bastante imposible. Mi única otra idea era encontrar la potencia de la serie para$x^x$, $x^x=\sum\limits_{i=0}^\infty\frac{1}{i!}x^i\log^i(x)$ según Wolfram Alpha, de alguna manera demostrar que puedo intercambio de la serie e integral después de conectar la serie en la integral, y calcular cada término, pero los cálculos son muy "loco" para el término general $\int\limits_{-\infty}^0\frac{x^i\log^i(x)}{i!(x^3-1)}\mathrm{d}x$. Tenga en cuenta que $i$ es un índice, no la unidad imaginaria. Tengo una corazonada esto puede requerir un poco de análisis complejo, especialmente desde $x^x$ no es realmente definidos en los números negativos, pero es compleja. Ya no puedo ir a ninguna parte por mi propia cuenta, se me ocurrió venir aquí y preguntar: ¿hay algún inteligente y no excesivamente cálculo-y de la manera de calcular esto?
Editar: Esto hace parecer que la integral tiene un valor complejo. Aquí está la captura de pantalla del ejercicio:
Una primera vista pensé que era un ejercicio de Cálculo. A continuación, $x^x$ no está definido para números negativos, o al menos, no para todos ellos. La integral parece tener un valor complejo como escrito. Por lo que este se ha convertido en una realidad misteriosa ejercicio. Posibles interpretaciones:
- La parte real de la integral es necesaria;
- La integral de la parte real es necesario;
- La parte imaginaria de la integral es necesario.
¿Alguna de estas acercarse al valor dado?
