Dejemos que $G$ sea un grupo simple finito. Supongamos que $A, B < G$ , $G = AB$ y $A$ es un grupo abeliano. ¿Es cierto que $A \cap B=1 $ ?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo simple finito. Supongamos que $A$ y $B$ son subgrupos propios de $G$ , $ G = AB$ y $A$ es un grupo abeliano. ¿Es cierto que $A \cap B=1 $ ?

Lo he comprobado con algunos ejemplos y parece que es cierto; pero no tengo pruebas de ello.

Answer 1

Establecer $C:= A \cap B$ . Por el contrario, supongamos que $C \neq 1$ . Así que $C^B \neq 1$ . Tenemos $C^G = C^{AB}$ . Desde $A$ es abeliana, $C^G = C^B$ . Pero $ C^G \trianglelefteq G$ . Así, $C^B=C^G=G$ . Para cada $c \in C$ y $b \in B$ tenemos $c^b = b^{-1}cb \in B$ Así que $G = C^B \le B$ una contradicción.

Answer 2

Con respecto a $A$ basta con suponer que $A\cap B\unlhd A$ . Por ejemplo, $A$ puede ser el grupo Dedekind. A la respuesta del usuario180168. Así $C^B=C^G=G$ . Obviamente, $G=C^B\leq B$ una contradicción.

Answer 3

Contraejemplo: Dejemos que $G= Z_p$ con $p$ número primo. G es simple y abeliano, $G=G\cdot G$ y $G \cap G=G\neq 1$ .