Para $n > 5$ $1 < k < n+1$ demostrar que $n! + k$ tiene un divisor primo que es mayor que $n$. Esta pregunta aparece como un ejercicio en el libro "No siempre enterrado en lo profundo" por Pablo Pollack. Hay una referencia, pero el papel está en alemán! Parece ser suficiente para demostrar la existencia de un divisor primo de $n!+k$ que es mayor que $k$ si todos los primos divisores de $n!+k$ tenían menos de $n+1$, entonces se podría dividir a n! y por lo tanto se tienen que dividir el $k$. El caso de $k = 1$ es fácil de manejar, pero estoy atrapado por $k > 1$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
pevik
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Esto no es una solución completa, pero tal vez lo lleva a uno:
Supongamos $1 \le k \le n$, y todos los primos divisores de $n!+k$$\le n$.
Supongamos que un primer $p$ divide el entero $\frac{n!}{k}+1$. A continuación,$p \mid n!+k$, por lo que $p \le n$, $p \mid n!$, y $p \mid k$. Si tuviéramos $p < k$, $p$ divide $(k-1)!$, lo que a su vez se divide $\frac{n!}{k}$. Pero esto significaría que el $p \mid 1$, lo cual es imposible. Por lo tanto, $k = p$ es primo, y es el único factor primo de $\frac{n!}{k}+1$; es decir, $\frac{n!}{k}+1 = k^r$ para algunos entero $r > 0$; por lo $n! = k(k^r-1)$. También tenga en cuenta $k > n/2$ (porque de lo contrario $k^2 \mid n!$ lo cual es imposible).
Por lo que sigue siendo para mostrar que esto es imposible cuando se $n > 5$. Por desgracia no estoy seguro de cómo hacer esto.
edit: El citado libro de referencias Chowdhury, que da el mismo argumento como a mí. A continuación se cita un resultado por Grundhöfer que dice que $n!+k \;(2 \le k \le n)$ no puede ser una fuente primaria de energía al $n > 5$.
