¿Puede conjeturar qué funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua cuando son consideradas como mapas de $\mathbb{R}$ $\mathbb{R_\mathcal{l}}$?

Question

La pregunta completa es de Mukres de la Topología.

(a) Supongamos que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es "continuo de la derecha" que es $$\lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a),$$ para cada una de las $a \in \mathbb{R}$. Mostrar que $f$ es continua cuando se la considera como una función de$\mathbb{R_\mathcal {l}}$$ \mathbb{R}$.

(b) ¿Puede usted conjeturar qué funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ son continuos cuando se la considera como mapas de$\mathbb{R}$$\mathbb{R_\mathcal {l}}$? Como los mapas de$\mathbb{R_\mathcal {l}}$$\mathbb{R_\mathcal {l}}$?

NOTA:$\mathbb{R_\mathcal {l}}$ es la topología generada por la base de $\{[a,b)|a,b\in R\}$.

Es fácil probar la primera parte de la pregunta. Pero no tengo ni idea acerca de cómo averiguar la segunda parte de la pregunta. ¿Podría usted ayudarme?

Gracias.

Answer 1

Consejo (para $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_\ell$): la imagen continua de un sistema conectado está conectada. ¿Cuáles son los componentes conectados de $\mathbb{R}_\ell$?

Answer 2

Para empezar en $f:\mathbb{R}_\ell \to \mathbb{R}_\ell$:

Si $f$ es continuo, como una función de$\mathbb{R}_\ell$$\mathbb{R}_\ell$, entonces debe ser continuo, como una función de$\mathbb{R}_\ell$$\mathbb{R}$, ya que cada conjunto abierto en $\mathbb{R}$ también está abierto en $\mathbb{R}_\ell$. Por lo tanto, como una función de $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$debe ser continua desde la derecha. Sin embargo, esto no es suficiente: $f(x)=-x$ es continuo, como una función de$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$, pero no es continuo como una función de$\mathbb{R}_\ell$$\mathbb{R}_\ell$. Por qué? Si usted puede ver lo que mantiene a esta función se continuo de$\mathbb{R}_\ell$$\mathbb{R}_\ell$, usted tiene una buena oportunidad de trabajo fuera exactamente qué funciones de $\mathbb{R}_\ell$ $\mathbb{R}_\ell$son continuas.