Equilibrios de Nash para el esfuerzo de nivel de juego

Question

Reproductor $i$ elige un nivel de esfuerzo, $e_i \in [0, 10]$. Vamos reproductor $i$ tiene la siguiente función de la rentabilidad: $90 -e_i$ si $e_i > e_j$ $80 -e_i$ si $e_i \leq e_j$. ¿Qué es el Equilibrio de Nash (NE) de este juego? (De hecho, me confundí mixta-parte de la estrategia.)

Mi planteamiento:

Para el puro de la estrategia de NE - Vamos reproductor $i$ elegir arbitrariamente el nivel de esfuerzo, decir $8$, entonces él/ella se $72$ si el otro jugador elige el mismo nivel de esfuerzo o menos. A continuación, el jugador $i$ es mejor elegir a un mayor nivel de esfuerzo, decir $9$, pero, de hecho, aquí tenemos la misma situación. Por lo tanto, el jugador es mejor elegir el mayor esfuerzo, $10$, lo que le permite obtener $80$ a más. Sin embargo, la elección de $0$ esfuerzo es superior a este, porque él puede conseguir $80$ y no hay ningún riesgo de contraer $70$. Este procedimiento continúa y llegamos a la conclusión de que no es pura estrategia de NE.

Ahora necesitamos considerar mixto estrategia de NE. Aquí es la parte donde me confundí. Reproductor $i$ es la mezcla de más de una infinidad de estrategias. Así, debemos considerar una distribución donde se $\int F(.) =1.$ por Lo tanto, ¿cuál debe ser la distribución de probabilidad que nos permite ser indiferente entre las estrategias?

Answer 1

Primero vamos a comprobar si hay una mezcla de equilibrio con ambas estrategias teniendo el apoyo de todos los de $[0,10]$. Reproductor $1$ aumentando su esfuerzo $e_1$ $\mathrm de_1$ ella $\mathrm de_1$ en el esfuerzo y las ganancias de su $10\rho(e_1)\mathrm de_1$ en la expectativa de rentabilidad a partir de la comparación, donde $\rho$ es jugador de $2$'s de la función de densidad de probabilidad. En una situación de equilibrio con pleno apoyo, estos deben ser iguales en todas partes, por lo $\rho\equiv1/10$.

Así, tanto los jugadores elegir uniformemente al azar produce un equilibrio de Nash, cuyo valor para ambos jugadores se pueden leer en los extremos del intervalo como $80$.

Tenga en cuenta que este resultado depende de la longitud del intervalo de ser igual al valor de la ganancia de la comparación. Si la parte superior del esfuerzo límite eran más altos, todos los esfuerzos por encima de $10$ estaría dominado por el esfuerzo de $0$, por lo que las estrategias todavía sería uniforme con el apoyo de $[0,10]$. Si la parte superior del esfuerzo límite inferior fueron, digamos, $b$, una probabilidad finita $1-b/10$ estaría concentrado en el límite superior y el resto de $b/10$ sería distribuir de forma uniforme con la densidad de $1/10$$[0,b]$.