Por el Schreier fórmula del índice, para los subgrupos de índice finito en la libertad de los grupos, hay un límite $n$, por ejemplo, en el índice de $|G:H|$ de los subgrupos $G$ $F$ que contengan $H$ con un límite de índice. Además, no puede ser sólo un número finito de subgrupos entre el$H$$G$. Por lo que es suficiente para mostrar que el conjunto de los grupos de $G$ que son máximas en $F$ sujeto a que contiene a $H$ con índice finito es finito.
Si $|G:H| \le n$, entonces el núcleo de la $K := \cap_{g \in G} g^{-1}Hg$ $H$ $G$ es normal en $G$$|G:K| \le n!$. Así, por solucionado $H$, hay sólo un número finito de posibles núcleos de $K$. Por lo tanto, si hay infinitamente muchos subgrupos $G$ $F$ maximal con respecto a la que contiene a $H$ con un límite, índice, entonces debe haber dos de estos grupos, $G_1$ $G_2$ con el mismo núcleo de $K$. El resultado es fácil cuando se $H$ es trivial, por lo que asumir que no. Por lo $K$ es también trivial.
Se trata de un estándar resultado de que, para un finitely generado subgrupo no trivial $K$ de un grupo libre $F$, $|N_F(K):K|$ es finito. (De manera equivalente, un trivial normal subgrupo de infinito índice en un grupo de free no puede ser finitely generado.) Así , desde $K \unlhd \langle G_1,G_2 \rangle$, $|\langle G_1,G_2 \rangle:K|$ es finito, lo que contradice la maximality de $G_1$$G_2$.
