Por el Schreier fórmula del índice, para los subgrupos de índice finito en la libertad de los grupos, hay un límite n, por ejemplo, en el índice de |G:H| de los subgrupos G F que contengan H con un límite de índice. Además, no puede ser sólo un número finito de subgrupos entre elHG. Por lo que es suficiente para mostrar que el conjunto de los grupos de G que son máximas en F sujeto a que contiene a H con índice finito es finito.
Si |G:H|≤n, entonces el núcleo de la K:=∩g∈Gg−1Hg H G es normal en G|G:K|≤n!. Así, por solucionado H, hay sólo un número finito de posibles núcleos de K. Por lo tanto, si hay infinitamente muchos subgrupos G F maximal con respecto a la que contiene a H con un límite, índice, entonces debe haber dos de estos grupos, G1 G2 con el mismo núcleo de K. El resultado es fácil cuando se H es trivial, por lo que asumir que no. Por lo K es también trivial.
Se trata de un estándar resultado de que, para un finitely generado subgrupo no trivial K de un grupo libre F, |NF(K):K| es finito. (De manera equivalente, un trivial normal subgrupo de infinito índice en un grupo de free no puede ser finitely generado.) Así , desde K \unlhd \langle G_1,G_2 \rangle, |\langle G_1,G_2 \rangle:K| es finito, lo que contradice la maximality de G_1G_2.
