¿Existen variedades riemannianas planas de Ricci con holonomía genérica?

Question

Esto puede ser un problema abierto, no estoy seguro.

En la clasificación de Berger (refinada por Simons, Alekseevsky, Bryant,...) de las representaciones de holonomía de las variedades riemannianas completas irreducibles no simétricas simplemente conectadas, hay algunos casos que implican la planitud de Ricci: a saber, $\mathrm{SU}(n)$ (Calabi-Yau) en dimensión $2n$ , $\mathrm{Sp}(n)$ (hyperkähler) en dimensión $4n$ , $G_2$ en dimensión $7$ y $\mathrm{Spin}(7)$ en dimensión $8$ .

Una pregunta natural es la inversa: si la planitud de Ricci implica una reducción de la holonomía. Se sabe que las otras representaciones de la holonomía no son planas de Ricci: $\mathrm{Sp}(n)\cdot \mathrm{Sp}(1)$ (kähler cuaterniónico) se sabe que es Einstein con curvatura escalar no nula, y en el caso de $\mathrm{U}(n)$ en dimensión $2n$ (Kähler) se sabe que si una variedad de Kähler es plana de Ricci entonces la holonomía está contenida en $\mathrm{SU}(n)$ para que sea Calabi-Yau. Así que la pregunta que queda es si existe alguna variedad riemanniana plana de Ricci con holonomía genérica $\mathrm{SO}(n)$ en dimensión $n$ .

Me gustaría saber el estado actual de esta cuestión y, si sigue abierta, qué opinan los expertos: ¿se esperan ejemplos de variedades riemannianas planas de Ricci con holonomía genérica?

Pregunta extra : ¿Y si el colector es pseudoriemanniano?

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Añadido

Gracias a la respuesta de Igor más abajo, he aquí algunas observaciones adicionales.

Hay que afinar la pregunta. El análogo riemanniano de la métrica de Schwarzschild en $\mathbb{R}^2 \times S^2$ es un ejemplo de una métrica completa, simplemente conectada y no compacta de Ricci con holonomía genérica. Así que la pregunta es sobre compacto ejemplos.

De hecho, en el libro de Berger de 2003 Una visión panorámica de la geometría de Riemann (página 645) se lee al final de la página:

Sigue siendo un gran misterio que no se conozca ninguna variedad compacta plana de Ricci que no tenga uno de estos grupos especiales de holonomía.

Answer 1

La curvatura de Ricci es una cantidad local, por lo que sólo me voy a centrar en el caso de que el grupo de holonomía local sea SO(n). Filosóficamente, el grupo de holonomía local y la curvatura de una conexión intentan medir lo mismo. Por un lado, la curvatura es la comparación infinitesimal de transportes paralelos en dos direcciones en órdenes diferentes. La imagen heurística es sólo un paralelogramo infinitesimal. La holonomía local, por otro lado, mide el cambio real a lo largo de los caminos nulo-homotópicos. Por tanto, no es demasiado sorprendente que estos dos invariantes estén estrechamente relacionados.

Un reflejo de esto es el teorema de holonomía de Ambrose-Singer. A grandes rasgos, este teorema dice que el álgebra de mentiras del grupo de holonomía (local) debe ser lo suficientemente grande como para acomodar todas las traslaciones paralelas del tensor de curvatura evaluadas en todos los 2 planos en un punto dado. De hecho, el álgebra de mentiras del grupo de holonomía consiste precisamente en estas traslaciones (para cada bucle y cada 2-plano obtenemos un endomorfismo de $T_xM$ ).

Por otro lado, la curvatura de una conexión libre de torsión (como la conexión Levi-Civita) debe satisfacer la primera y segunda identidades de Bianchi. Esto también puede relacionarse con el grupo de holonomía y el espacio de tensores que satisfacen estas condiciones se hace cada vez más pequeño a medida que el grupo de Lie se hace más grande.

El teorema de clasificación de Berger funciona enfrentando estas dos fuerzas opuestas. El grupo de holonomía debe ser a la vez pequeño y grande, y sólo algunos grupos cumplen ambos requisitos. Estoy bastante seguro de que la holonomía local de SO(n) es incompatible con ser plano de Ricci . Editar : Esta suposición era errónea. Ver la respuesta de Igor para un contraejemplo.

Answer 2

No soy un experto pero la pregunta:

"¿Existe un plano de Ricci cerrado simplemente conectado $n$ -manifiesto con $SO(n)$ -¿Holonomía?"

es un conocido problema abierto. Obsérvese que la métrica de Schwarzschild es una métrica plana completa de Ricci en $S^2\times\mathbb R^2$ con holonomía $SO(4)$ La cuestión es producir ejemplos compactos; personalmente creo que debería haber muchos. La dificultad estriba en que es difícil resolver la ecuación de Einstein en las variedades compactas. Si la memoria no me falla, en el libro de Berger "Panorama de la geometría de Riemann" se discute ampliamente este asunto.