Condición $u\in C^k(\Omega)$ ser extensible a $u\in C^k(\overline{\Omega})$ para un dominio abierto $\Omega\subset\Bbb R^n$

Question

Corrección de algunos abren $\Omega\subset\mathbb{R}^n$. Recordar que para cualquier subconjunto $S\subset\mathbb{R}^n$, definimos $$C^k(S)=\{u:S\to\mathbb{R}\ :\ \exists\hbox{ open }U\supseteq E,\ v\in C^k(U),\hbox{ s.t. }v\vert_S=u\}$$

Deje $u\in C^k(\Omega)$ para algunos $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, de tal manera que para todos los $\lvert\alpha\rvert\le k$ podemos extender $\partial^\alpha u$ continuamente a $\overline{\Omega}$. Mi PDE profesor afirma que esto implica que $u\in C^k(\overline{\Omega})$, pero no la puedo ver de inmediato por qué esto es cierto.

Me logró demostrar el uso de Tietze Extensión del Teorema de que si $\partial_j u$ existe en $\Omega$ puede ser ampliado continuamente a$\overline{\Omega}$, $u$ puede ser extendido a $\mathbb{R}^n$ tal que $\partial_j u\in C(\mathbb{R}^n)$, pero no tengo manera de controlar las diferentes extensiones dadas por los diferentes derivados, parece.

Answer 1

Es cierto, pero está lejos de ser obvio. Tienes que usar el teorema de extensión de Whitney, Whitney, que dice que cada función que satisface que una especie de fórmula de Taylor de orden $m$ en un conjunto cerrado se puede ampliar a una función de $C^m$ $\mathbb{R}^n$. Ver el enlace.