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Question

$f:[0,1]\to R$ Es una función medible tal que $fg\in L^1([0,1])$ para todos $g\in L^2([0,1])$.prove que $f\in L^2([0,1])$.

Mi opinión: si puedo encontrar una función g tal que f + g está en $L^2([0,1])$, utilice $$\int(f+g)^2-\int2fg+g^2$$to get $\int f^2$, then we can prove f is in $L^2([0,1])$. ¿Es correcto?

Answer 1

Suponemos $f\geq 0$. Debemos mostrar que $$ \Lambda_f : g\in L^2 \mapsto \int f g \; dx $ $ es un acotado lineal funcional en $L^2$. Si este es el caso entonces por Riesz existe $h\in L^2$ para $\Lambda_f(g)=\int hg \; dx$ y uno ve que $f=h$ a.s.

Asumir tan que $\Lambda_f$ no limita y que $g_n\geq 0$ una secuencia con $\|g_n\|_{L^2}=1$ tan que $\Lambda_f(g_n) \rightarrow \infty$. Extraer un subsequence suponemos que $\Lambda_f(g_n) \geq 4^n$. Entonces $$ g= \sum_{n\geq 0} \frac{1}{2^n} g_n$$ has $L^2$ norm not greater than $2$ but by monotone convergence $\Lambda_f (g) = + \infty$.

Answer 2

$g=1\in L^2(0,1)$, La asunción da $f \in L^1(0,1)$.

$g= \sqrt{f}\in L^2(0,1)$, Ahora da $f^{3/2}\in L^1(0,1)$, es decir: $f \in L^{3/2}(0,1)$.

$g=f^{3/4}\in L^2(0,1)$, Ahora da $f^{7/4} \in L^1(0,1)$, es decir: $f^{7/8} \in L^2(0,1)$.

etcetera... por inducción tenemos que $\forall n \geq 1, f \in L^{2-1/2^n}(0,1)$.

$n\to \infty$, Obtenemos $f\in L^2(0,1)$.