Muestran una particular $f:S^{2n}\to S^{2n}$ debe ser mapa antipodal.

Question

La siguiente es una pregunta de un examen calificativo para que estoy estudiando:

Que $G$ un grupo de homeomorphisms actuando libremente en $S^{2n}$. Muestra que si $G$ tiene orden $2$, luego el elemento no trivial debe ser el mapa antipodal.

Aquí es lo que tengo hasta ahora. Si $f$ es el elemento no trivial, sabemos que $f\simeq \alpha$, y $f$ % degreee $(-1)^{2n+1}=-1$y que $f$ y $\alpha$ deben estar de acuerdo en algún punto de $S^{2n}$. Creo que grado teoría será suficiente para hacer frente a este problema.

Answer 1

No estoy convencido de que esto es cierto. Vamos a intentar construir un homeomorphism de $S^2$ que es punto fijo-libre y plazas de la identidad.

Deje $\alpha$ ser el antipodal mapa, y deje $\phi$ ser un homeomorphism de $S^2$ que es la identidad de algunos pequeños disco de $U$ sobre el polo norte, pero que no es la identidad en $U$. Ahora considere el $f:=\alpha \phi^{-1} \alpha \phi \alpha$ (intuitivamente, es el antipodal mapa, pero hemos modificado un poco en $U$ e hizo un cambio correspondiente en $\alpha (U)$). Este es sin duda un homeomorphism, y plazas de la identidad, ya que $f^2 = \alpha \phi^{-1} \alpha \phi \alpha^2 \phi^{-1} \alpha \phi \alpha$, lo que todos cancela de distancia. Además, es de punto fijo-libre, ya que intercambia los hemisferios norte y sur, por lo que cualquier posible punto fijo, debe recaer en el ecuador, pero se trata de la antipodal mapa en el ecuador.