¿Es un módulo proyectivo finito generado un sumando directo de un * finitamente generado * módulo gratis?

Question

Que $R$ ser un anillo (no necesariamente conmutativo) y $P$ un finito generado proyectivo $R$-módulo. Entonces hay un $R$-módulo $N$ tal que $P \oplus N$ es gratis.

¿Se puede $N$ siempre elegir tal que $P \oplus N$ es gratis y finitamente generado?

¿Equivalente: Hay siempre un % finitamente generado $N$tal que $P \oplus N$ es gratis?

Si la respuesta es "no": ¿Qué puede decirse sobre el % de anillos $R$que esta propiedad es true?

Answer 1

Para entender completamente el +1 respuesta de Martin Brandeburgo, he tenido que añadir un par de detalles para mí. Me decidí a documentar el resultado de esta respuesta:

Vamos a un determinado sistema de generación de $P$ ser dado por $v_1,\ldots,v_n$. Set $F = R^n$ y $\varphi : F \to P$, $(x_1,\ldots x_n) \mapsto \sum_{i = 1}^n x_i v_i$. Desde $P$ es proyectiva, la epimorphism $\varphi$ divisiones, lo que significa que hay un monomorphism $\psi : P \to F$ tal que $$\varphi\circ\psi = \operatorname{id}_P.$$

Ahora comprobamos que $$F = \operatorname{im}\psi \oplus \ker\psi.$$

1. Para mostrar que $F = \operatorname{im}\psi + \ker\psi$, vamos a $v\in F$. Definir $x = \psi(\varphi(v))$$y = v - x$. Obviamente, $x\in\operatorname{im}(\psi)$ y el porque de $$\varphi(y) = \varphi(v-x) = \varphi(v) - (\underbrace{\varphi\circ\psi}_{=\operatorname{id}_P}\circ\varphi)(v) = \varphi(v) - \varphi(v) = \mathbf{0},$$ $y \in \ker(\varphi)$. Por lo $v = x + y \in \operatorname{im} \psi + \ker\varphi$.
2. Para demostrar que la suma es directa, deje $v\in\operatorname{im}\psi \cap \ker\varphi$. Así que hay un $w\in P$$v = \psi(w)$, e $\mathbf{0} = \varphi(v) = (\varphi\circ\psi)(w) = w$. Por lo tanto $v = \psi(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$$\operatorname{im}\psi \cap \ker\varphi = \{\mathbf{0}\}$.

Aplicación de la homomorphism el teorema de la monomorphism $\psi$ rendimientos $P\cong\operatorname{im}\psi$, por lo que $$P \oplus \ker\varphi \cong F = R^n$$ es finitely generado y libre.

Answer 2

Seguro. % De módulos proyectivos $P$tiene la propiedad (y en realidad se trata de una caracterización equivalente) que se divide cada epimorphism $F \to P$. Elegir un sistema de generación finito de $P$, esto le permite elegir $F$ finitamente generado gratis. Por supuesto cada sumando directo de $F$ es un cociente de $F$ y por lo tanto también finitamente generado.