¿Por qué estas categorías equivalentes parecen comportarse de forma diferente?

Question

Escriba $\{1\}$ para la categoría terminal, y dejemos que $\Omega$ denota una categoría con dos objetos distintos (pero isomorfos), llámalos $1_\Omega$ y $0_\Omega$ y un total de cuatro flechas; dos identidades, una flecha $1_\Omega \leftarrow 0_\Omega$ y otra flecha $0_\Omega \leftarrow 1_\Omega$ .

Escriba $j : \Omega \leftarrow \{1\}$ para el functor dado por $j(1)=1_\Omega.$

Entonces, intuitivamente, el par $(\Omega,j)$ debe ser capaz de clasificar las subcategorías completas de cualquier otra categoría. Explícitamente, dada una categoría $\mathbf{C}$ y una subcategoría $\mathbf{S},$ existe un functor $P_\mathbf{S} : \Omega \leftarrow \mathbf{C}$ dado de la siguiente manera:

• $P_\mathbf{S}(X)=1$ si $X \in \mathbf{S}$
• $P_\mathbf{S}(X)=0$ si $X \notin \mathbf{S}$

Las flechas van al único lugar al que pueden ir.

Además, si nos limitamos a las subcategorías completas, este proceso debería ser reversible.

¡Pero esto no tiene sentido!

En particular, la categoría $\Omega$ es equivalente a la categoría $\{1\}$ y, por lo tanto, no debería tener ventajas sobre $\{1\}.$ Sin embargo, no podemos clasificar subcategorías completas utilizando la flecha $\{1\} \leftarrow \{1\}$ .

¿Qué diablos está pasando aquí? ¿Por qué estas categorías equivalentes parecen comportarse de forma diferente?

Answer 1

Su confusión es la siguiente: tiene dos categorías $1$ y $\Omega$ que son equivalentes, pero no isomorfas. Se observa que para cualquier categoría $C$ existe un functor único $C \to 1$ pero que los funtores $C \to \Omega$ parecen corresponder a subcategorías completas.

Existe una estrecha analogía entre las categorías y los espacios topológicos (tan estrecha que puede realizarse mediante un functor, la realización geométrica del nervio) que dice así:

• Las categorías son como los espacios.
• Los funtores son como mapas entre espacios.
• Los isomorfismos de las categorías son como los homeomorfismos de los espacios.
• Las transformaciones naturales son como las homotopías.
• Las categorías de funtores son como espacios de mapas entre espacios.
• Las equivalencias de las categorías son como las equivalencias de homotopía de los espacios.

En particular, dos espacios (digamos el punto y el intervalo $[0, 1]$ que son bastante análogas a la categoría terminal y $\Omega$ ) pueden ser homotópicamente equivalentes, pero no homeomórficos, y por lo tanto el set de mapas de algún espacio $X$ en esos dos espacios puede ser muy diferente. Sin embargo, siempre es cierto que si dos espacios son equivalentes en homotopía, entonces el espacios de mapas de $X$ a esos dos espacios también son equivalentes en homotopía: por ejemplo, el espacio de mapas de un espacio $X$ en $[0, 1]$ es siempre contraíble.

La afirmación correspondiente para las categorías es que si dos categorías son equivalentes, entonces la categorías de funtores (y transformaciones naturales) de cualquier otra categoría $C$ a esas categorías son equivalentes. En particular, concluimos que el categoría de los funtores $C \to \Omega$ debe ser, de hecho, equivalente a la categoría terminal.

Entonces, ¿qué son los morfismos en esta categoría? Supongamos que $F, G : C \to \Omega$ son dos funtores. ¿Qué es una transformación natural entre ellos? Pues es un conjunto de mapas $\eta_c : F(c) \to G(c)$ tal que... pero espera. En $\Omega$ hay un morfismo único entre dos objetos cualesquiera. Por lo tanto, todos los $\eta_c$ están de hecho determinados de forma única, y satisfacen automáticamente la condición de compatibilidad necesaria para definir una transformación natural. Además, toda transformación natural es invertible porque su inversa también está determinada de forma única.

En este punto, permítanme introducir la siguiente terminología útil: una categoría es contratable si existe un morfismo único entre dos objetos cualesquiera. Esta condición equivale a ser equivalente a la categoría terminal. Lo que hemos escrito es más o menos una prueba de que si $\Omega$ es una categoría contráctil, entonces también lo es cualquier categoría de funtores $[C, \Omega]$ .

Answer 2

Las categorías isomórficas son intercambiables en un sentido muy fuerte. Básicamente, siempre que se tenga un isomorfismo $A\cong B$ puede intercambiar $A$ para $B$ en cualquier situación categórica. Para precisar esto, basta con utilizar la lógica de primer orden. Sea $T$ sea la teoría de categorías de primer orden; A $T$ -modelo es lo mismo que una categoría (añadir pequeño donde sea necesario para evitar molestias). Un isomorfismo de categorías es lo mismo que un $T$ -isomorfismo. $T$ -las estructuras isomórficas son intercambiables dentro del mundo de $T$ -modelos y $T$ -preguntas (es decir, problemas formulados en el lenguaje de $T$ y utilizando los axiomas de $T$ ). Por eso las categorías isomorfas son intercambiables dentro de la teoría de las categorías; las simetrías de la teoría de las categorías incluyen todas las permutaciones de las categorías isomorfas.

La equivalencia de categorías es algo de naturaleza diferente. Las categorías equivalentes no pueden intercambiarse dentro de la teoría de las categorías. El lema correcto es que trabajar dentro de la categoría $A$ o dentro de una categoría equivalente $A'$ no importa (esencialmente). Eso es cierto, pero el énfasis aquí está en la palabra "dentro". Desde fuera (pero aún dentro de la teoría de las categorías) dos categorías equivalentes pueden parecer ciertamente muy diferentes. Una forma de verlo es pensar en una categoría como la categoría de objetos que modelan algo. Las categorías equivalentes ofrecen modelos concretos que pueden ser muy diferentes de lo que debe ser esencialmente la misma cosa. De forma más precisa (e ignorando de nuevo las cuestiones de teoría de conjuntos), definamos una "cosa" como una clase de equivalencia de categorías (la relación de equivalencia es la equivalencia de categorías). Entonces cada categoría de una cosa $t$ es decir, un representante de $t$ ofrece modelos concretos de $t$ . Cualquier categoría equivalente a ella ofrece otros modelos del mismo $t$ . No importa en qué representante trabaje ya que en realidad está interesado en $t$ (los axiomas que definen la categoría concreta que realmente se elige para los modelos son sólo una forma de convertir la vaga "cosa $t$ en entidades matemáticas reales). Sin embargo, cuando se puede mirar alrededor y ver todas las categorías y hacer todo tipo de preguntas categóricas, no es sólo $t$ que se ve de repente. Por eso, las categorías internamente equivalentes son las mismas, pero externamente pueden ser muy diferentes.

Answer 3

Ah, pero ¿realmente estás clasificando subcategorías? ¿Y si tienes dos subcategorías $S$ y $S'$ . Esto nos da los Functores $P_S$ y $P_{ S'}$ pero, ¿son estos funtores realmente diferentes? Bien, podemos definir un isomorfismo natural $!$ que para cada objeto en $C$ se le asigna el isomorfismo correspondiente en $\Omega$ . Así que $P_S$ y $P_{S'}$ son básicamente el mismo Functor, porque envían todo al mismo objeto. Sería como distinguir las cosas marcando unas con un lápiz y otras con otro, técnicamente diferentes por esencialmente lo mismo que marcarlas todas con el mismo lápiz.

En general, la comparación de funtores para la igualdad es algo que se llama mal, precisamente porque se rompe bajo la equivalencia. Los conceptos malignos generalmente no son diferentes en la práctica de sus homólogos no malignos, el isomorfismo en este caso. Véase http://ncatlab.org/nlab/show/principle+de+equivalencia#en_la_teoría_de_categorías

Todos los conceptos esenciales se conservan mediante equivalencias. Sólo hay que asegurarse de no diferenciar cosas esencialmente iguales, como los Funtores isomórficos.