¿ZFC decidir cada pregunta acerca de finitely generado grupos?

Question

En ZFC, podemos decir fácilmente cuando un triple de $\mathscr{G}=\left\langle G,\cdot,1 \right\rangle $ es un grupo. Además, podemos decir que cuando un grupo es finitely generado: Primero definir un "canónica" finitely generado grupo en $n$ generadores tomando el conjunto de todos finito ordenado de tuplas de elementos de un conjunto fijo de tamaño $n$ ("palabras en estos elementos"), y la definición de la habitual relación de equivalencia que hará que el conjunto de clases de equivalencia en un grupo. En segundo lugar, una f.g. el grupo será un grupo isomorfo a algunos cociente de la canónica de f.g. grupo (creo que podemos decir todo esto en ZFC, por favor me corrija si me equivoco).

Así que ahora la pregunta es - va a cada declaración acerca de f.g. los grupos se decidable en ZFC? Dicho de otra manera - cualquier afirmación acerca de que estos grupos sean independientes de ZFC? ¿Qué acerca de finitely presentan grupos (donde el grupo en el cociente es en sí misma f.g.)?

Para la referencia, creo que de Whitehead del problema que se muestra por Sela ser independiente de ZFC. La principal diferencia es que aquí estamos tratando con cosas que tienen alguna limitación en ellos, por lo que es menos claro para mí si que puede ser manipulado.

Answer 1

No eres muy concretas sobre lo que se considera una "declaración sobre f.g. grupos", pero, presumiblemente, podemos hablar acerca de la propiedad de ser un finitely libres generados por el grupo abelian.

Si $G_1$ es un servicio gratuito de abelian grupo en $n$ generadores y $G_2$ es un servicio gratuito de abelian grupo en $m$ generadores, entonces el producto directo de los $G_1\times G_2$ es un servicio gratuito de abelian grupo en $n+m$ generadores, y el producto tensor $G_1\otimes G_2$ es un servicio gratuito de abelian grupo en $nm$ generadores.

Por lo tanto, si usted permite que habla acerca de los productos directos y tensor de productos de abelian grupos, entonces usted puede hablar acerca de la adición y la multiplicación de números naturales y, a continuación, usted puede expresar cada aritmético de la pena. Entre estos es "ZFC es consistente", que es indecidible por ZFC sí mismo (a menos que ZFC es, de hecho, no es coherente).

Answer 2

No estoy seguro de que he entendido bien su pregunta, así que permítanme estado mi interpretación:

Hay preguntas acerca de los grupos que se indecidible (en ZFC)?*

La respuesta a esta pregunta es "sí". Esto es especialmente interesante para finitely presentado los grupos, debido a la noción de una propiedad de Markov (ver Lydon y Schupp, en la Sección IV.4, p192). Deje $\mathcal{P}$ ser una propiedad de finitely presentado los grupos que se conserva bajo el isomorfismo. La propiedad $\mathcal{P}$ se dice que es una propiedad de Markov si:

1. Hay un finitely presentó el grupo de $G_1$$\mathcal{P}$, y
2. Hay un finitely presentó el grupo de $G_2$ que no puede ser embebido en cualquier finitely presentado el grupo que ha $\mathcal{P}$.

Teorema (Aidan-Rabin). Deje $\mathcal{P}$ ser cualquier propiedad de Markov de finitely presentan grupos. Entonces no existe ningún algoritmo que decide si es o no un determinado finitely presentado el grupo tiene la propiedad de $\mathcal{P}$.

Ejemplos de propiedades de Markov, y por lo tanto de las propiedades de finitely presentado a los grupos que no están de forma recursiva reconocibles, son:

• siendo el trivial grupo;
• un ser finito;
• se abelian;
• se nilpotent;
• ser solucionable;
• ser libre;
• siendo de torsión libre;
• siendo residual finito;
• tener un problema solucionable;
• ser simple;
• de ser automático.

Por cierto, la propiedad de ser "un grupo" de un conjunto bajo una operación es indecidible (usted indique lo contrario en tu pregunta). Para ver esto, es útil saber que propiedades de Markov fueron originalmente definido para semigroup presentaciones, y de Markov demostrado el resultado análogo a la Aidan-Rabin teorema anterior. Luego de ser "un grupo" es una propiedad de Markov para finitely presentado semigroups (porque no existen semigroups que no incrustar en los grupos), y por lo tanto es de forma recursiva indecidible.

Dudo, pero estoy seguro de cómo demostrar que "ser finitely generado" es decidable para grupos.

*Esto es muy diferente a la de su re-afirmación: "ninguna declaración acerca de (f.g.) grupos independientes de ZFC?"