¿Por qué se puede definir una medida de probabilidad sobre el conjunto potencia de espacio muestra contable?

Question

Deje $\Omega$ ser el espacio muestral, $p: \Omega \rightarrow [0,1]$, ser de cualquier función de la satisfacción de $\sum_{w\in\Omega} p(w) = 1$. Entonces no es válido probabilidad triple $(\Omega, \mathcal{F},P)$ donde $\mathcal{F}$ es la colección de todos los subconjuntos de a $\Omega$ (el poder), y para $A \in \mathcal{F}, P(A) = \sum_{w\in A} p(w)$.

Mi pregunta es ¿por qué/cómo sabemos que, cuando se $\Omega$ es finito o contable, para una probabilidad de medida puede ser definida sobre TODOS los posibles subconjuntos (vs decir, el hecho de que una medida de probabilidad -- satisfacer el estándar de axiomas, por supuesto, no puede ser definida sobre todos los subconjuntos de [0,1]). Hay una prueba de esto en algún lugar (si es así, por favor hágamelo saber donde puedo mirar), o alguien podría proporcionar?

Answer 1

Siempre puede definir ciertas medidas en el conjunto de todo poder, por ejemplo la medida de dirac $\delta_x (A)=1$ si $x\in A $ y $\delta_x (A)=0$ lo contrario.

También, contables sumas de Diracs funcionan bien. En un espacio de muestra contable, cualquier medida es de esta forma (combinación lineal contable si Diracs).

Sólo cuando consideramos las medidas más interesantes como la medida de Lebesgue, no podemos definirlo en el powerset todo manteniendo propiedades deseadas como invariación de la traducción.

Answer 2

Una serie converge absolutamente iff converge cada subserie. Infinito numerable $\Omega$, se deduce que si $p: \Omega \rightarrow [0,1]$ es tal que $\sum_{\omega\in \Omega} p(\omega)$ converge, entonces $\sum_{\omega\in A} p(\omega)$ converge cada $A\subseteq\Omega$.