Expectativa del valor absoluto máximo de las variables aleatorias gaussianas

Question

Dejemos que $\{X_i\}_{i=1}^n$ sea una secuencia i.i.d. de $\mathcal{N}(0, \sigma^2)$ y considerar la variable aleatoria $$Z_n : = \max_{i=1,\ldots,n}|X_i|.$$

Necesito probar el límite

$$ E[Z_n] \leq \sqrt{2\sigma^{2}\log{n}} + \frac{4 \sigma}{\sqrt{2\log{n}}} \quad \text{for all } n \geq 2. $$

Sé cómo probar el límite $ E[Z_n] \leq \sqrt{2\sigma^{2}\log{n}} $ (utilizando la función generadora de momentos), lo que es aún mejor, pero la pista en el ejercicio dice que debo usar el límite de la cola $$ P[|U| \geq x] \leq \sqrt\frac{2}{\pi}\frac{1}{x} e^{-\tfrac{x^2}{2}}, \quad \text{where $ U $ is a standart normal r.v.} \qquad (1) $$ Mi idea. Desde $Z_n$ es una v.r. no negativa, entonces $$ E[Z_n] = \int_{0}^{\infty} P[Z_n \geq x] \ dx = \int_{0}^{\infty} \Bigl( 1 - \bigl(1 - P[|X_1| \geq x] \bigr)^n \Bigr) dx. $$ Intenté utilizar la cola de la liga (1), pero no lo conseguí. Incluso no entiendo por qué esta integral converge.

Agradecería cualquier idea. Gracias.

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer $\sigma^2=1$ (sólo hay que tener en cuenta que $Y_i := X_i/\sigma$ son variables aleatorias gaussianas estándar independientes). Por la desigualdad de Bernoulli, tenemos

$$(1-\mathbb{P}(|X_1| \geq x))^n \geq 1-n \mathbb{P}(|X_1| \geq x).$$ Por lo tanto,

$$\begin{align*} \mathbb{E}(Z_n) &= \int_0^{\infty}(1-(1-\mathbb{P}(|X_1| \geq x))^n) \, dx \\ &\leq c + \int_c^{\infty} (1-(1-\mathbb{P}(|X_1| \geq x))^n) \, dx \\ &\leq c+ n \int_c^{\infty} \mathbb{P}(|X_1| \geq x) \, dx \end{align*}$$

para cualquier constante $c>0$ . Utilizando la estimación de la cola para $X_1$ encontramos

$$\begin{align*} \mathbb{E}(Z_n) &\leq c+ n \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_c^{\infty} \frac{1}{x} \exp \left(- \frac{x^2}{2} \right) \, dx \\ &\leq c+\frac{n}{c} \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_c^{\infty} \exp \left(- \frac{x^2}{2} \right) \, dx. \end{align*}$$

Si elegimos $c:= \sqrt{2 \log n}$ entonces $c \geq 1$ para $n \geq 2$ y por lo tanto

$$\begin{align*} \mathbb{E}(Z_n) &\leq c + \frac{n}{c} \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_c^{\infty}x \exp \left(- \frac{x^2}{2} \right) \, dx \\ &= c + \frac{n}{c} \sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{-c^2/2} \\ &= \sqrt{2 \log n} + \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{\sqrt{2 \log n}}. \end{align*}$$

Desde $\sqrt{\frac{2}{\pi}}<1<4$ Esto termina la prueba.