Encontrar un ejemplo de un completo espacio métrico limitado que no es compacto.

Question

Creo que la infinita esfera dimensional satisface los siguientes criterios. Sin embargo, tenía la esperanza de que alguien podría llegar a un ejemplo más elemental. Gracias.

Encontrar un ejemplo de un completo espacio métrico limitado que no es compacto.

Answer 1

Otro de espacios discretos, usted puede tomar el siguiente planteamiento general. No sea compacto espacio métrico completo. Para convertirlo en un acotado espacio métrico sin cambiar su falta de compacidad ni su exhaustividad, acaba de cambiar la métrica a $\min\{d(-,-),1\}$. Así, por ejemplo, $\mathbb R$ es completa, no compacto, ni delimitado (con la métrica usual). Después de truncar la métrica como por encima de usted obtenga $\mathbb R$ con una métrica que es limitado, es muy completa, pero no compacto. Este pequeño truco muestra por qué en el contexto de una métrica el concepto de total acotamiento es más útil que el acotamiento.

Answer 2

Sugerencia: En un espacio de Banach la bola unidad cerrada es compacta si y sólo si la dimensión es finita; pero un subconjunto cerrado de un espacio métrico completo es completado.

Answer 3

Si quieres un ejemplo "simple", entonces no puedo pensar en nada diferente a un subconjunto de un espacio de Banach. Ser completo significa estar cerca (ya que todo el espacio es completo), y para un subconjunto acotado cerrado de un espacio del vector que no compacto, tienes que estar en un espacio dimensional infinito del vector.