¿Cómo probar esto$\sum_{t|n}(d(t))^3=\left(\sum_{t|n}d(t)\right)^2$

Question

Mostrar que %#% $ #%

donde $$\sum_{t|n}(d(t))^3=\left(\sum_{t|n}d(t)\right)^2$ es el número de divisores positivos de $d(n)$.

ver esto tiene simaler $n$ $

¿tal vez esto tenga algo que ver?

y cómo demostrar esta ecuación agradable. Gracias

Answer 1

Si $n = p^k$ es una energía primera, tenemos

$$\sum_{t\mid n} d(t)^3 = \sum_{j=0}^k (j+1)^3 = \left(\sum_{j=0}^k (j+1)\right)^2 = \left(\sum_{t\mid n} d(t)\right)^2$$

por la identidad "similar". % General $n$, utilizar el multiplicativity de coprimos $d(\cdot)^m$ tenemos $a,b$, $d(ab) = d(a)d(b)$, es decir, que se convierte en

$$\sum_{t\mid n} d(t)^3 = \prod_{p\mid n} \sum_{j= 0}^{v_p(n)} (j+1)^3 = \prod_{p\mid n} \left(\sum_{j=0}^{v_p(n)} (j+1)\right)^2 = \left(\sum_{t\mid n} d(t)\right)^2$$

desde una función multiplicativa $f$, también el % de la suma $F(n) = \sum_{t\mid n} f(t)$es multiplicativo.