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Question

Un profesor mío me dice que los números reales NO es un subconjunto de los números complejos, pero que los números complejos tiene una isomorfo copia de los números reales con el isomorfismo $x$ $\rightarrow$ $(x,0)$. Puedo ver esto si tenemos en cuenta los números complejos como $$C=\{(a,b):a,b \in \mathbb{R} \}$$ debido a que los números reales no están ordenadas las parejas.

Pero lo que si considero $$C=\{x+iy:x,y \in \mathbb{R}, i^2=-1\}?$$ A continuación, $\mathbb{R}$ es un subconjunto de a $\mathbb{C}$ porque $x= x+0$ todos los $x \in \mathbb{R}$.

Así que... $\mathbb{R}$ es un subconjunto de a $\mathbb{C}$ o no?

Cualquier ayuda se agradece.

NOTA: Mi pregunta es ligeramente diferente de la "$a=a+0i$?", porque me estoy tomando dos definiciones de $\mathbb{C}$ pero hay más conjuntos isomorfos a $\mathbb{C}$ y quiero saber si siempre los reales son un subconjunto de los números complejos o no.

Answer 1

Bueno, realmente no es cierto que los números complejos son pares ordenados. Pares ordenados acaba de dar un específico modelo de los números complejos.

La diferencia se ve mejor cuando se considera la construcción de los números reales. Si usted mira en los enlaces de la página de Wikipedia, encontrará un montón de diferentes construcciones. Por ejemplo, hay el original de Dedekind de la construcción, donde cada número real es un par de conjuntos de los números racionales. Luego está la versión moderna, donde en vez de un par, un solo conjunto de los números racionales se utiliza. Luego está el de la construcción, como la equivalencia de la clase de secuencias de Cauchy; en que la construcción, los números reales son conjuntos de funciones de los números naturales a los números racionales.

En todas estas construcciones, los números reales terminan siendo muy diferentes conjuntos. Así que ellos son los "reales" de los números reales? Bueno, todos los de ellos. Todos aquellos construcción de diferentes modelos para la misma cosa, a saber, el de los números reales. Usted puede demostrar que haciendo una asignación 1:1 de un modelo a otro, que conserva la estructura (adición, multiplicación, etc.). Es decir, "los números reales" no es una sola de esas construcciones, es la estructura para que todas estas construcciones generar un modelo.

Permítanme sugerir otra, no estándar de la construcción de los números reales: en Primer lugar, debo definir los números complejos como clases de equivalencia de Cauchy secuencias de pares de números racionales utilizando, por ejemplo, la distancia Manhattan. Tenga en cuenta que en esta construcción, el de los números complejos no son en todos los pares de números reales (de hecho, me pasó por alto la definición de los números reales hasta el momento), pero de clases de equivalencia de las secuencias de pares de números racionales. Entonces yo definir los números reales como los números complejos con parte imaginaria cero.

Tenga en cuenta que en esta definición, los números reales son por la construcción de un subconjunto de los números complejos. Y si se hace correctamente (sólo he esbozado el camino, por supuesto) de estos, así definida, reales y números complejos tienen exactamente las mismas propiedades que los reales y los números complejos se define en cualquier otra forma válida.

Answer 2

Como han mencionado, depende de cómo uno define los números complejos. Desde un punto de vista puramente teoría de conjuntos, es isomorfo a $\mathbb{R} \not \subset \mathbb{C}$ $\mathbb{C}$, más bien el conjunto de cosas en $\mathbb{R}$ que se asemejan a los números reales. Para todos los efectos sin embargo, se puede considerar $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.