Es un anillo de un conjunto?

Question

Sabemos que un anillo se compone de un conjunto dotado de dos operaciones binarias. Mi pregunta es si un anillo es un conjunto o no. Por ejemplo, podemos tener $(\mathbb{R},+,-)$ donde $\mathbb{R}$ es un conjunto y $+$ $-$ son operaciones binarias asociadas con el conjunto. Tenga en cuenta que las operaciones binarias son funciones, y las funciones que se establecen, por tanto, tenemos una 3-tupla consistente en tres sets. Mi primera pregunta es si esta tupla en sí es un conjunto? es decir, ¿qué es exactamente una tupla?

Además, el problema es que no me siento cómodo con la definición de anillo como algo con soemthing otra cosa. ¿Qué significa exactamente por "con"? (por ejemplo, es un sindicato?) parece demasiado informal.

Cualquier ayuda es apprecaited.

Answer 1

Usted sólo necesita ver la formalidad de una vez para que nunca quiere volver a verla.

El par ordenado $(a,b)$ se define, como un conjunto, $\{\{a\},\{a,b\}\}$. Así que podríamos decir que ordenó una triple $(a,b,c)$ es un par ordenado $$((a,b),c)=\{\{\{\{a\},\{a,b\}\}\},\{\{\{a\},\{a,b\}\},c\}\}$$ La satisfacción de nosotros mismos que tal cosa es existencialmente válido libremente se puede escribir $(a,b,c)$ a decir lo mismo con menos torpe notación.

Answer 2

Esto hará que sea formal. Deje $S$ ser cualquier conjunto. A continuación, el anillo de $R$ es cualquier elemento del conjunto $$R=(S,f,g)\in \{S\}\times S^{S\times S}\times S^{S\times S},$$ where $f$ and $g$ are functions, elements of $S^{S\times S}$ satisfying: $$f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)),$$ $$f(a,b)=f(b,a),$$ $$\exists e\in S\text{ such that } f(a,e)=a\;\forall a\in S,$$ $$\forall a\in S, \exists b\in S\text{ such that } f(a,b)=e,$$ $$g(g(a,b),c)=g(a,g(b,c)),$$ $$g(a,f(b,c))=f(g(a,b),g(a,c)).$$

Ahora hazte un favor, y no siempre el tratamiento de los anillos con dicha formalidad.

Answer 3

Voy a tratar de las preguntas desde el punto de vista de la categoría de teoría.

Es un anillo de un conjunto?

No.* Pero siempre podemos tratar un anillo de $R$ como si se tratara de un conjunto, de la siguiente manera; hay un functor $$U:\mathbf{Ring} \rightarrow \mathbf{Set}$$ given on objects by $U(S,+,\times) = S$. This is called the underlying set functor (or "forgetful functor to $\mathbf{Set}$") and it allows us to treat rings as if they were sets and morphisms of rings as if they were functions. This in turn allows us to "pull back" structure on $\mathbf{Set}$ to get structure on $\mathbf{Anillo}$.

Por ejemplo, hay una noción de finitud para los conjuntos. Por lo tanto podemos definir que el anillo de $R$ es finito si el conjunto de $U(R)$ es finito. Así que hemos "tirado" la noción de finitud a través de $U$. Del mismo modo, hay una noción de surjectivity para las funciones. Por lo tanto podemos definir que un anillo homomorphism $f : R_0 \rightarrow R_1$ es surjective iff la correspondiente función subyacente $U(f) : U(R_0) \rightarrow U(R_1)$ es surjective. De nuevo, esta tira surjectivity atrás a través de la $U$.

*Excepto en el material de la teoría de conjuntos, en la que típicamente se supone que todo es un conjunto, incluso cosas como pares ordenados. Esto no tiene demasiada influencia en matemáticas diarias, sin embargo.

¿Qué significa "con" significa?

Esto es mucho, mucho más difícil pregunta a responder en forma satisfactoria; de hecho, la categoría básica de la teoría ni siquiera intento para dar a esta cuestión una respuesta. Pero si usted tiene alguna familiaridad con doble categorías, en efecto, podemos dar a esta cuestión una respuesta; en particular, véase Susan Niefield del artículo aquí en el encolado de la construcción (pero sólo una vez que esté listo.)

Answer 4

Se podría decir que el término "anillo" simultáneamente se refiere a dos cosas relacionadas.

La primera es que el término anillo se refiere a una cierta cantidad de matemáticos de datos. Esto incluye los datos de un conjunto $R$, así como dos funciones de $R \times R \to R$ con determinadas propiedades. La segunda es que el término anillo también es usado para referirse al conjunto de $R$ sí.

A menudo nos de intercambio de estos usos. Por ejemplo, se considera que es perfectamente válido para "tomar un elemento de $R$," como si el anillo es un conjunto, pero también tiene sentido decir "Vamos a $R$ ser un anillo," donde entendemos que tenemos los datos de un conjunto así como el correspondiente a la adición y la multiplicación.

Esta idea no es exclusiva para el término "anillo". Se aplica a casi todos los matemáticos término definido con cualquier estructura. Términos como "grupo", "colector", y muchos otros, pueden utilizarse simultáneamente para referirse a la combinación de datos de conjunto y la estructura, pero también se refieren al conjunto en sí.

Answer 5

Cuando decimos que un conjunto a $X$ está equipada con dos operaciones binarias $P$$Q$, la palabra "con" en realidad no significan nada por sí mismo. Es el uso de las palabras ", equipado con" y "y" en este patrón (en el contexto de la definición algebraica de objeto, tal como un anillo) eso nos da una manera de expresar la idea de la orden de triple $(X,P,Q)$ en una manera que es fácil de decir, no demasiado confuso, y sugiere las formas en que estamos a punto de tratar de utilizar ese triple.

La respuesta de Matt Samuel ya ha explicado cómo expresar la ordenó triple en pura conjunto de notación. Así que espero que usted puede ver ahora cómo palabras tales como "equipada con dos funciones binarias" se puede analizar en el lenguaje más formal; pero, ¿no estás contento de que usemos "menos formal" lenguaje para describir un anillo en su lugar de siempre describir directamente en el lenguaje básico de la teoría de conjuntos?